Χάος (Overture)

ΜΑΘΗΜΑ 1

Λοιπόν...ήρθε η ώρα που όλοι περιμένατε. Θα μιλήσουμε στα επόμενα ποστ για κάτι που σε όλους αρέσει αλλά λίγοι πραγματικά το έχουν καταλάβει. Επιπλέον όσοι το έχουν καταλάβει δεν τους αρέσει και πάρα πολύ γιατί ακριβώς αρχίζουν και το καταλαβαίνουν. Αν όμως κάνουν λίγη υπομονή και συνεχίζουν να το μελετάνε τότε θα το αγαπήσουν για πάντα.

Σκοπός σε αυτά τα κείμενα δεν είναι να αναλύσω την ψυχοπαθολογία του καθενός που σκέφτεται ή όχι το Χάος, αλλά να προσπαθήσω να εξηγήσω με όσο πιο απλό τρόπο γίνεται, λίγες ιδέες μέσα από τις οποίες μπορούμε να καταλάβουμε πολλά πράγματα στη φύση και την καθημερινή μας ζωή με διαφορετικό μάτι. Είναι ένα προσωπικό στοίχημα γιατί μόνο αν το καταλάβετε εσείς σωστά τότε θα το έχω καταλάβει και εγώ. Θα κινηθώ, λοιπόν, εκ του ασφαλούς. Θα σας πάω από το μονοπάτι που ακολούθησα, άθελά μου, ο ίδιος. Έτσι μόνο θα μπείτε στο μυαλό μου και θα μπορέσουμε να επικοινωνήσουμε.

Τέλεια ! Λοιπόν ξεκινάμε...

Jurassic Park (1993)

H πρώτη αναφορά που θυμάμαι, γίνεται σε αυτην την all time classic ταινία. Εκεί ο Jeff Goldblum ζαχαρώνει συστηματικά τη Laura Dern. Στην επίμαχη σκηνή θέλωντας να κάνει τον έξυπνο πιάνει δύο σταγόνες νερό, τις βάζει πάνω στο χέρι του, τη μία δίπλα στην άλλη. Έπειτα τις αφήνει να γλιστρίσουν στο χέρι του τη μία μετά την άλλη. Αυτές αν και έχουν ξεκινήσει πολύ κοντά η μία στην άλλη ακολουθούν, εν γένει, εντελώς διαφορετικές πορίες, Με βλέμμα λάγνο, εξηγεί έτσι στη Laura πως ένα τόσο απλό και μικρό σύστημα, όπως η σταγόνα που τσουρλάει, μπορεί να συμπεριφερθεί πολύ απρόβλεπτα. δεν καταφέρνει να ρίξει τη γκόμενα αλλά τουλάχιστον δεν τον έφαγαν οι δεινόσαυροι....

Όχι ότι κατάλαβα και πολλά όταν το πρωτοείδα। Στο ντούκου το πέρασα, και γιατί ήταν πολύ δύσκολο αλλά και γιατί είχα πληρώσει εισητήριο για να δω ΔΕΙΝΟΣΑΥΡΟΥΣ και όχι έναν εξυπνάκια να ζαχαρώνει τη μυτόνγκα με στάλες νερού। Πολύ αργότερα κατάλαβα τι έλεγε αλλά και πόσο σημαντικές τελικά είναι οι σταγόνες νερού...

Με αυτό το απλό και όμορφο παραδείγματα κάναμε ένα πρώτο αλλά σημαντικό βήμα στην κατανόηση μιας καταπληκτικής θεωρίας....Στο επόμενο μάθημα θα μιλήσουμε για πεταλούδες, για μπαρμπούτι και για...ακράτεια....

Να περνάτε όλοι καλά...(και να διαβάζετε !)

ΜΑΘΗΜΑ 2

ΧΑΟΣ (Που, Πως, Πότε, Γιατί)

Όλα ξεκίνησαν όταν το 1889, ο Βασιλιάς Όσκαρ ο Β' της Σουηδίας και της Νορβηγίας θέλοντας να γιορτάσει τα 60α γενέθλιά του με ένα πιο εξαντρίκ τρόπο. Διακύρηξε ένα διαγωνισμό: "Στην καλύτερη ερευνητική εργασία σχετικά με την ευστάθεια του πλανητικού μας συστήματος." Ο Βασιλιάς δηλαδή ρώτησε ποιος μπορεί να του απαντήσει αν ποτέ το πλανητικό μας σύστημα συντριβεί ή παραμείνει για πάντα σε ισορροπία.

Το μαθηματικό μοντέλο έχει να κάνει με την κίνηση n σωμάτων (εδώ των πλανητών) κάτω από την βαρυτική έλξη που ασκεί ο ένας στον άλλο. Στόχος είναι να βρεθούν οι εξισώσεις που θα δίνουν κάθε στιγμη τη θέση και ταχύτητα των πλανητών. Το ηλιακό μας σύστημα έχει n = 9 βασικούς πλανήτες. Το μαθηματικό πρόβλημα (δηλαδή χωρίς τη βοήθεια υπολογιστών) δεν έχει λύση για n μεγαλύτερο ή ίσο του 3!

Παρ' όλα αυτά νικητής υπήρξε, και ήταν ένας πολύ μεγάλος μαθηματικός: Ο Henry Poincare, καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Παρισιού, ο οποίος έκανε τεράστια πρόοδο στο πρόβλημα, αν και δεν κατάφερε να το λύσει. Μελετώντας ένα πολύ απλό μοντέλο που αποτελούνταν από μόλις 3 σώματα (μόνο ένα από τα οποία είχε επιτρέψει να κινείται), ανακάλυψε ένα νέο είδος κίνησης: Το κινητό σώμα διέγραφε μια απίστευτα πολύπλοκη πορεία. Δε σταματούσε ποτέ, δεν κατέληγε σε καμία περιοχή του χώρου αλλά δεν ξέφευγε ποτέ μακριά από τα άλλα δύο σώματα.

Η "τρελή" συμπεριφορά του συστήματος αυτού, εντυπωσίασε τους πάντες όχι μόνο για το πόσο μπερδεμένη εμφανιζόταν αλλά κυρίως από το γεγονός ότι προέκυπτε από ένα τόσο απλό σύστημα. Δείτε πόσο απλό σύστημα είναι : πηγαίνετε ΕΔΩ και πατήστε το play για να δείτε την τροχιά του μικρού πλανήτη και να καταλάβετε ακριβώς τι θέλω να πω.

Αυτή η συμπεριφορά θα ορισθεί τη δεκαετία του '70 (του 1970) ως Χάος.

Πως όμως προκύπτει αυτή η συπεριφορά; Τι κάνει το μικρό πλανήτη να μη σταματάει ποτέ; Τι εννοούμε όταν μιλάμε για πολυπλοκότητα;

Όταν ήμαστε μικροί, σχεδόν όλοι από μας προσπαθήσαμε κάποια στιγμή να κρατήσουμε όρθιο στην παλάμη μας ένα καλαμάκι ή ένα μολύβι ή ενα μακρύ κοντάρι που βρήκαμε πεταμένο στον κήπο της γιαγιάς. Με πολύ πολύ εξάσκηση θα καταφέρουμε αρχικά να κρατήσουμε το κοντάρι περισσότερη ώρα όρθιο πριν μας πέσει για άλλη μια φορά στο κεφάλι. Έχουμε, απλά, παρατηρήσει ότι πρέπει να υπάρχει ένα σημείο όπου το κοντάρι θα ισορροπήσει και αν είμαστε τυχεροί θα το πετύχουμε σε κάποια προσπάθεια. Σε πείσμα όλων εμείς θα συνεχίσουμε να προσπαθούμε αλλά εν γένει θα καταλήξουμε με πολλά πολλά καρούμπαραλα και ξύλο από τη γιαγιά. Διότι ως μπόμπιρες κώλο κάτω δε βάζουμε και φυσικά ΔΕ μας αρέσουν τα επιτραπέζια!!!!!

Γρήγορα, γρήγορα θα γίνουμε πιο τολμηροί και θα περπατήσουμε πάνω σε τεντωμένο σκοινί, ή θα γίνουμε ζογκλέρ σε τσίρκο των αρχών του περασμένου αιώνα, ψάχνωντας για αυτή τη ριμάδα την ισορροπία, που υπάρχει αλλά είναι ασταθής. Λίγο πιο αριστερά ή λίγο πιο δεξιά, λίγο αέρας να φυσήξει, πάει η ισορροπία, τη χάσαμε!!!! Αυτό που συμβαίνει στην πραγματικότητα είναι πως όσο και να προσπαθήσουμε, όσο κοντά και να φτάσουμε σε αυτό το χρυσό σημείο, ποτέ δε θα καταφέρουμε να κάτσουμε ακριβώς πάνω του. Αποτέλεσμα είναι πως, αν μείνουμε ακίνητοι, ποτέ δε θα νιώσουμε αυτή την ασταθή ισόρροπία.

Στη θεωρία δυναμικών συστημάτων αν ένα σύστημα (όπως αυτό με το κοντάρι και το χέρι μας) ξεκινήσει ακριβώς πάνω σε ένα σημείο ισορροπίας θα παραμείνει για πάντα εκεί. Από όποιο άλλο σημείο και να ξεκινήσει- όσο κοντά στο σημείο ισορροπίας βρίσκετα αυτό, πολύ σύντομα θα απομακρυνθεί από εκεί (όχι δε θα φάμε ξύλο γι αυτό). Τέτοια σημεία παρουσιάζουν ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες. Ο ορισμός αν τον έλεγα έτσι από μόνο του θα μπέρδευε τους πάντες. Τώρα νομίζω ότι δεν έχω να πω περισσότερα.

Μπορούμε να το δούμε και αλλιώς. Μπείτε στη θέση αυτού του σημείου. Γευτείτε αυτήν την απολυτη και αέναη ισορροπία, όταν γύρω σας κυριαρχεί η αστάθεια. Βρεθείτε στην κορυφή του Εverest (αυτού στην Ομόνοια)! Θα θέλατε κάποιον άλλο παρέα; ΟΧΙ ΦΥΣΙΚΑ!!! Όποιος άλλος θα βρεθεί κοντά σας θα τον διώξετε, και δίκιο θα έχετε. Η επόμενη ερώτηση είναι το πόσο γρήγορα θα πέσει το κοντάρι στο κεφάλι μας; Όσο πιο κοντά θα ξεκινήσουμε από το σημείο-φάντασμα τόσο πιο πολύ θα αργήσει. Η ταχύτητα όμως παραμένει η ίδια και σταθερή.

Αν είμαστε καλά παιδιά και προσέχουμε τη μόστρα μας και δε θέλουμε να αποκτήσουμε κανένα καρούμπαλο θα αντιστρέψουμε το κοντάρι και θα το κρεμάσουμε προς τα κάτω. Αυτό θα σταθεροποιηθεί κατακόρυφα και η άκρη του θα ηρεμήσει σε ένα άλλο σημείο ισορροπίας. Αν το κουνήσουμε λίγο το κοντάρι αυτό μετά από λίγο θα επιστρέψει στην ηρεμία του ίδιου σημείου. Σε αντίθεση με τα ασταθή σημεία υπάρχουν και τα ευσταθή σημεία ισορροπίας, τα οποία, αντί να απωθούν, έλκουν τα γειτονικά σημεία.

Τι σχέση έχουν όλα αυτά με το Χάος ;

Μία χαοτική τροχιά είναι παγιδευμένη ανάμεσα σε ασταθή σημεία ισορροπίας. Εκτελεί μια καταραμένη πορεία. Όπου σταθεί κι όπου βρεθεί υπάρχει κοντά της ένα ασταθές σημείο ισορροπίας (μια κορυφή του Everest) που τη διώχνει μακριά. Πόσα είναι αυτά τα σημεία που τη διώχνουν μακριά; Πολλά, πάρα πολλά, άπειρα! Ταυτόχρονα είναι και μια εγκλωβισμένη τροχιά. Θα ταξιδεύει για πάντα σε αυτό το αφιλόξενο περιβάλλον (όπως η ο μικρός πλανήτης στο σύστημα των τριών σωμάτων) χωρίς ελπίδα να καταλαγιάσει κάπου ή να ξεφύγει μακριά από αυτην την ιδιότυπη κόλαση.

Πάμε για μία 2η ιστορία....

Η μελέτη του Poincare ξεχάστηκε σχετικά γρήγορα. Το 1905 ο Albert Einstein δημοσιεύει την περίφημη εργασία του για την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, δέκα χρόνια μετά τη Θεωρία της Γενικής Σχετικότητας, ενώ κατά τη δεκαετία του '20 και του '30 έχουμε την ανάπτυξη της Κβαντομηχανικής θεωρίας. Όλα αυτά επισκίασαν το έργο του Poincare ή στην καλύτερη περίπτωση έστρεψαν αλλού το επιστημονικό ενδιαφέρον. Μετά ήρθε και ο 2ος Παγκόσμιος Πόλεμος...βάλε και κατάλαβε!!!

Φτάσαμε αισίως, λοιπόν, στα τέλη της δεκαετίας του '50. Στο πανεπιστήμιο του M.I.T. συμβαίνει κάτι το σκανδαλώδες. Ένας καθηγητής μετερεωλογίας ονόματι Edward Lorenz παραλαμβάνει (για λογαριασμό του και μόνον) έναν ολόκληρο υπολογιστή. Έναν Royal McBee LGP-30 αξίας $45.000: Ένα πανάκριβο μηχάνημα μεγάλο όσο ένα ψυγείο και με τα εξωφρενικά, για την εποχή, τεχνικά χαρακτηριστικά της μνήμης 16000 Bytes και των 120000 κύκλων ρολογιού. (Ο υπολογιστής που σας γράφω εχει 1000000000 Bytes μνήμη και 4200000000 κύκλους (Hz)).

Σε αυτό το μηχάνημα λοιπόν, που έκανε μόλις 60 πολλαπλασιασμούς το δευτερόλεπτο, άρχισε να δουλέυει ένα μαθηματικό μοντέλο για τη μελέτη του καιρού. Πάτησε τα πλήκτρα και το άφησε να παράγει αριθμούς (δηλαδή τη θέση του συστήματος κάθε στιγμή) ενώ εκείνος πήγε να πάρει καφέ. Όταν γύρισε με τη φραπεδιά στο χέρι, παρατήρησε ότι το μηχάνημα παρήγαγε αριθμούς που δεν κατέληγαν κάπου συγκεκριμένα. Δεν σταθεροποιούνταν σε μια τιμή ούτε γύρω από δύο ή τρεις τιμές. Ο υπολογιστής παρήγαγε ασταμάτητα αριθμούς που δεν ήταν ίδιοι μεταξύ τους και δεν επαναλαμβάνονταν.... Αρχικά σκέφτηκε μήπως του πουλήσανε μούφα υπολογιστή. Μετά έβαλε τους αριθμούς στη σειρά και είδε κάτι τέτοιο:

Αυτός είναι ένας παράξενος ελκυστής. Παράξενος γιατί δεν τον συναντάτε και κάθε μέρα και ελκυστής γιατί εκεί φαίνεται πως καταλήγει μια χαοτική τροχιά: σε κάτι πολυ πολύπλοκο και παράξενο. Δειτε ΕΔΩ μία τυπική χαοτική τροχιά του συστήματος που μελέτησε ο Lorenz. Η σχέση τη τροχιάς που είδατε στην αρχή με αυτή που είδατε τώρα είναι του ότι και οι δύο τροχιές είναι ευαίσθητες στις αρχικές συνθήκες, όπως είδαμε παραπάνω.

ΜΑ ΤΙ ΤΟ ΦΟΒΕΡΟ ΕΧΕΙ ΑΥΤΗ Η ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΠΟΥ ΜΑΣ ΕΧΕΙΣ ΠΑΡΕΙ ΤΑ ΑΥΤΙΑ!!!???!!!

Δύο εντυπωσιακά χαρακτηριστικά. Θα κλείσω αυτό το μάθημα με το πρώτο χαρακτηριστικό: Σκεφτείτε ένα τεράστιο φλιπεράκι. Πολύ τεράστιο. Μα Πάρα πολύ τεράστιο. Με πολλά αυτάκια που διώχνουν τη μπίλια. Πάρα πολλά. Για να είμαστε ακριβείς άπειρα. Αυτά τα αυτάκια αντιστοιχούν στις κορυφές που "διώχνουν" τους διπλανούς τους. Έτσι και τα αυτάκια διώχνουν μακρια τη μπίλια. (Το να καταφέρει ποτέ η μπίλια να κάτσει ακριβώς πάνω σε ένα αυτάκι ώστε να μη φύγει ποτέ είναι όσο πιθανό να πιάσουμε την ασταθή ισορροπία που αναφέραμε παραπάνω, καθόλου!).

Ξεκινάμε από ένα σημείο με μία μπίλια και παρατηρούμε την τροχιά της. Αυτή η τροχιά είναι χαοτική. Η μπίλια δεν ηρεμεί πουθενά και όπου σταθεί κ όπου βρεθεί τα αυτάκια τη διώχνουν. Δεν ηρεμεί και δεν φεύγει έξω από το φλίπερ.

Ας βάλουμε και μία δεύτερη μπίλια. Όσο κοντά μπορούμε στην πρώτη. ΟΣΟ ΚΟΝΤΑ ΜΠΟΡΕΙΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ (το να τη βάλουμε ΑΚΡΙΒΩΣ στο ίδιο σημείο είναι όσο πιθανό να πιάσουμε την ασταθή ισορροπία, όσο πιθανό να πάρει ο Γαύρος το πρωτάθλημα στο Μπάσκετ, ΚΑΘΟΛΟΥ).

Παραδόξως (!) μετά από λίγες σφαλιάρες, οι δύο μπίλιες θα εκτελούν εντελώς άσχετες μεταξύ τους διαδρομές. Αν βάλαμε τη δεύτερη μπίλια, να παρακολουθεί την πρώτη, τότε αποτύχαμε. Η χαοτική τροχιά δεν μπορεί να προβλεφθεί για το πως θα κινηθεί και πιο μονοπάτι θα διαλέξει. Παρά το γεγονός ότι έχουμε να κάνουμε με συστήματα χωρίς ασάφειες (τα αυτάκια στο φλιπερ ειναι ακλόνητα και ξέρουμε ακριβώς πότε και πως θα κινηθούν όταν χρειαστεί) η κίνηση της μπίλιας δεν μπορεί να προβλεφθεί, ή αν αυτό γίνει τότε θα είναι για πάρα πάρα πάρα πολύ λίγο χρόνο...

Μια συμπεριφορά δηλαδή εξαιρετικά πολύπλοκη από ένα σύστημα σχετικά απλό που σίγουρα δεν το πιάνει το μάτι σου ότι μπορεί να προκαλέσει τέτοιο μπαχαλο...

Στο επόμενο μάθημα....που εφαρμόζεται το χάος....;;;

ΜΑΘΗΜΑ 3

ΧΑΟΣ...(Ολική Επαναφορά)

Μη με ρωτάτε για τον τίτλο. Αυτός μου είχε καρφωθεί εδώ και μερικές μέρες, αυτόν έβαλα. Τέλος. Στα δύο προηγούμενα κείμενα κάναμε μια εισαγωγή και μιλήσαμε για τα περίεργα σημεία, την αστάθεια που παρουσιάζουν και πως αυτή προκαλεί αυτό το μπάχαλο. Μπορεί βέβαια να μιλήσαμε και για άλλα πράγματα αλλά βαριέμαι να διαβάζω αυτά που έγραφα. Η ιστορία είναι κατά βάση πολύ απλή: Η θεωρία του Χάους έρχεται να προσθέσει το λιθαράκι τις και να παίξει το δικό της ρόλο στην αέναη τιτανομαχία μεταξύ Τυχαιότητας και Αιτιοκρατίας.
Από το στρίψιμο ενός νομίσματος μέχρι τη μοίρα και το νόημα της Ύπαρξης το ερώτημα αυτό βρίσκεται παντού και μας τιτιβίζει το κεφάλι ως άλλος Woody ο Τρυποκάριδος.

Αλλά ας τα πάρουμε τα πράγματα από την αρχή....

Όλοι γνωρίζουμε ότι τα πουλιά δεν πετούν προς µία κατεύθυνση, τα αυτοκίνητα και οι άνθρωποι δεν κινούνται σχεδόν ποτέ σε µία ευθεία γραμμή. Η τροχιά της γης και των άλλων ουρανίων σωμάτων στο στερέωμα δεν είναι ποτέ ευθύγραμμη (ευτυχώς!).
Σκεφτήκαμε ποτέ ότι αν η θερμική μεταβολή ενός μετάλλου ήταν πάντα γραμμική, αυτό θα διαστελλόταν για πάντα µε τον ίδιο τρόπο χωρίς να λιώνει, ενώ ένα γραμμικό ελατήριο θα μπορούσε να τεντωθεί απεριόριστα χωρίς να σπάσει; (!).
Από την άλλη μεριά, αν κοιτάξουμε µε προσοχή γύρω µας θα δούμε ότι τα βουνά δεν είναι κώνοι, τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες και οι κορμοί των δέντρων δεν είναι κύλινδροι.
Με λίγα λόγια η φύση που µας περιβάλλει είναι γεμάτη από πολύπλοκα σχήματα που όταν κινούνται ακολουθούν κατά κανόνα µη γραμμικές διαδρομές. Και όμως, μέχρι και την Γ΄ Λυκείου ακόμα, τα βιβλία της Φυσικής µας μιλούν κυρίως για γραμμικά φαινόμενα, στην Άλγεβρα μαθαίνουμε να λύνουμε σχεδόν αποκλειστικά γραμμικές εξισώσεις, ενώ στην Γεωμετρία τα πιο πολύπλοκα σχήματα που συναντάμε είναι οι κωνικές τομές, οι κύλινδροι, οι κώνοι και οι σφαίρες, ενώ ο χώρος στον οποίο εργαζόμαστε έχει πάντα ακέραιο αριθμό διαστάσεων (0, 1, 2 ή 3).
Γιατί συμβαίνει αυτό;
Ο λόγος είναι απλός: Η πολυπλοκότητα της φύσης και η μαθηματική της περιγραφή, η µη γραμμικότητα, αποτελούσαν μέχρι πρόσφατα πολύ δύσκολα προβλήματα που όλες οι αναλυτικές τεχνικές και μεθοδολογίες που είχαμε αναπτύξει αδυνατούσαν να επιλύσουν.
Στα προηγούμενα δύο κείμενα προσπάθησα να δώσω μια εικόνα της χαοτικής κίνησης। Στο τρίτο και τελευταίο αυτό κείμενο θα προσπαθήσω να δώσω την ιδέα της γεωμετρίας της πολυπλοκότητας।
Γι αυτό θα πάμε λαϊκή και θα αγοράσουμε ένα κουνουπίδι!

Θα το πάμε σπίτι και αφού το πλύνουμε καλά - καλά θα του βγάλουμε την πρασινάδα και θα το βάλουμε στο μικροσκόπιο που έχουμε πρόχειρο δίπλα στον αποχυμωτή. Θα παρατηρήσουμε εικόνες όπως την παραπάνω. Η επιφάνεια του θρεπτικού κουνουπιδιού δε φαίνεται περισσότερο λεία ή έστω πιο απλή...Φαίνεται ίδια, ολόιδια με αυτήν την επιφάνεια που είδαμε στον πάγκο του μανάβη....

Η πρώτη σοβαρή σκέψη που θα κάνουμε είναι πως κάτι τέτοιο δεν το περιμέναμε από το αθώο και καλοκάγαθο κουνουπίδι. Η αμέσως επόμενη, πιο σοβαρή σκέψη, είναι πως τώρα αντιλαμβανόμαστε γιατί κανείς μας δεν το θυμάται στη Φρουτοπία και φυσικά γιατί ο μανάβης μας το έκατσε τόσο ακριβά.

Μετά από μερικά λεπτά, θα αρχίσουμε να σκεφτόμαστε δευτερεύοντα πράγματα όπως το γιατί η επιφάνεια μιας πολύ πολύ πολύ μικρής περιοχής του κουνουπιδίου έχει την ίδια μορφολογία με το όλο κουνουπίδι. Τι είναι αυτή η αυτο-ομοιότητα και πως προκύπτει, λοιπόν ;

Πάρτε χαρτί και μολύβι....

Αυτή η πολύ απλή επαναλαμβανόμενη διαδικασία που είναι σε όλους μας κατανοητή εξελίσσεται πολύ γρήγορα σε ένα σχήμα ιδιαίτερα πολύπλοκο. Μετά από άπειρα βήματα θα έχουμε φτιάξει κάτι του οποίου η πολυπλοκότητά δεν μειώνεται όσο μεγεθύνουμε πάνω του. Η βασική του διάταξη θα εμφανίζεται διαρκώς. καθώς εμείς, ανυποψίαστοι, θα ζουμάρουμε.

Αυτή είναι η καμπύλη του Koch που αν την ξεκινήσουμε από τρίγωνο ονομάζεται νιφάδα και μοιάζει πολύ με τις φυσικές νιφάδες χιονιού:

Αυτό το σχήμα που λετε έχει εξαιρετικά χαρακτηριστικά, πολλά από τα οποία «ακούγονται» παράδοξα. Για παράδειγμα ενώ το εμβαδόν μιας νιφάδας είναι πεπερασμένο, η περίμετρός της έχει άπειρο μήκος! Από την άλλη ενώ αυτή η περίμετρος θα περίμενε να είναι μια τεθλασμένη γραμμή και άρα να έχει διάσταση 1 όπως όλες οι καθώς πρέπει γραμμές, η διάσταση αυτής της γραμμής είναι 1,26. Δεν είναι δηλαδή ούτε γραμμή όπως αυτές που ξέρουμε, ούτε επίπεδο όπως αυτά που ξέρουμε. Είναι κάτι ενδιάμεσο!

Το σχήμα αυτό είναι ένα fractal. Η λέξη προέρχεται από τα λατινικά και είναι ζεύξη των λέξεων fractus fangere που θα πει κάτι σπασμένο αν δεν κάνω λάθος. Ονομάστηκε έτσι τη δεκαετία του ’80 από τον κύριο στη διπλανή φωτογραφία. Ονομάζεται Benoit Mandelbrot και δεν είναι μακρινός ξάδερφος...του Λεοτσάκου από το Ερωτοδικείο. Με την πρωτοποριακή θεωρία του για τη γεωμετρία του φυσικού κόσμου, ο φίλος μου ο Benoit αναδεικνύει κατά βάση αυτό το από αιώνες γνωστό χαρακτηριστικό της αυτοομοιότητας. Επίσης υποστηρίζει κάτι το εξαιρετικό. Ό,τι πολύ πολύ απλές μη γραμμικές διαδικασίες κρύβουν μέσα τους άπειρη πολυπλοκότητα. Το πιο γνωστό παράδειγμά του είναι ο αναδρομικός τύπος

z(n+1)=z(n)*z(n)+c

όπου με κατάλληλες τιμές δημιουργεί το περίφημο σύνολο Mandelbrot (εικόνα (a)): Κάθε επόμενη εικόνα είναι μεγέθυνση της προηγούμενης έτσι ώστε να γίνει αντιληπτό το πόσο πολύπλοκα σχήματα μπορεί να δημιουργήσει αυτός ο κατά τα άλλα αθώος και μαθηματικός τύπος.

Η διαδικασία της κατασκευής αυτο-όμοιων σχημάτων είναι πραγματικά απλή. Αφού κάναμε μια εισαγωγή με την καμπύλη του Koch ας δούμε παρακάτω τη γεωμετρική παράσταση του Πυθαγόρειου θεωρήματος και την επαναλαμβανόμενη ανακατασκευή του.

Αν πάλι ξεκινήσουμε από μη ισοσκελή τρίγωνα:

Αυτοί οι εκπληκτικοί Πυθαγόρειοι ψυχεδελικοί σχηματισμοί μας θυμίζουν κάτι...μα κάτι ρε παιδί μου που δε μπορούμε και πολύ να προσδιορίσουμε αλλά μας αρέσει πολύ. Μας θυμίζουν τη Φύση :

Ποια από τα παραπάνω είναι σχήματα της φύσης και ποια δικά μας; (αν δεν είχα λεζάντες δε θα βγάζατε άκρη).
Είμαστε λοιπόν πολύ κοντά στο να καταλάβουμε έναν βασικό μηχανισμό της φυσικής ανάπτυξης των πραγμάτων. Ένα μηχανισμός τόσο πολύπλοκος όσο και απλός. Το μεγαλύτερο μέρος αυτής της κατάκτησης το χρωστάμε φυσικά στην ανάπτυξη της Πληροφορικής. Χωρίς τους υπολογιστές τέτοια σχήματα δε θα φτιάχναμε ποτέ. Αυτό είναι εν μέρει σωστό. Στην πραγματικότητα όλοι μας κάποτε στη ζωή μας «υπήρξαμε fractals». Ε βέβαιααααα ! Γιατί μη μου πείτε πως όταν είσαστε μπόμπιρες και σας πηγαίνανε στον παιδίατρο ή σε παιδικά πάρτι δεν ευχόσαστε πάντα να μπείτε σε ασανσέρ που να έχει απέναντι καθρέφτες!!!! Έτσι χαζεύατε στη διαδρομή τη φάτσα σας στο άπειρο. Πάω στοίχημα πως γέρνατε κιόλας για να δείτε που στο διάβολο τελειώνει αυτή η φατσούλα που ή της έχει κάτσει σοκολάτα στα μάγουλα από το μεσημέρι ή τρέχει μία μύξα από το αριστερό ρουθούνι...(πάντα αργά και προφανώς μη γραμμικά).

Η εικόνα αυτή όσο και να γείρετε όσο και να τη μεγεθύνετε θα εμφανίζει τη φάτσα σας...Η απόσταση κάθε πλήρους επανεμφάνισης δείχνει ένα δείκτη διάστασης ο οποίος δεν είναι ακέραιος. Όμως οι απέναντι καθρέφτες, όπως η εικόνα μιας οικογένειας να βλέπει τηλεόραση, στην οποία μια άλλη οικογένεια βλέπει τηλεόραση κάποια άλλη οικογένεια να βλέπει τηλεόραση κλπ κλπ είναι κλασσικά σκηνικά που όλοι έχουμε κατά καιρούς φτιάξει στο μυαλό μας και αναρωτηθεί...που καταλήγουν τέλος πάντων !;;;!

Η αυτο-ομοιότητα υπάρχει παντού στο φυσικό μας κόσμο. Βγείτε έναν περίπατο σε ένα κήπο. Βρείτε δέντρα μεγάλα που να μην τα έχει χτυπήσει πολύ ο άνεμος. Παρατηρείστε τα από το βασικό τους κορμό μέχρι τα τελευταία παρακλάδια. Θα συνειδητοποιήσετε μάλλον ότι τα παρακλάδια αυτά είναι μινιατούρες του βασικού κορμού....

Μέσα σε αυτό το πανηγύρι η πρώτη σκέψη που κάνουμε είναι φυσικά πως τα fractal είναι έργα τέχνης....

Και ως έργα τέχνης θα έπρεπε να αντιμετωπίζονται. Εδώ θα θυμηθώ ένα πολύ ωραίο τσιτάτο του θείου Άλμπερτ: Η έννοια της πραγματικότητας είναι μια και μοναδική. Όποιος την αντιληφθεί σωστά και την εκφράσει μέσα από το μυαλό του, αυτό λέγεται Επιστήμη. Όποιος την αντιληφθεί σωστά και την εκφράσει μέσα από την καρδιά του αυτό λέγεται, Τέχνη.

Πως τα λεει ο μπαγάσας....

Στα τρία αυτά κείμενα που φτάνουν στο τέλος τους προσπάθησα να περιγράψω κάτι με το οποίο ασχολούμαι αρκετά εδώ και αρκετάχρόνια।Αυτό, λοιπόν, είναι πάνω κάτω το Χάος και η Γεωμετρία του। Μία θεωρία που συνδέει το τυχαίο με το αιτιατό, το ασταθές με το φραγμένο, το αεικίνητο με το αμετάβλητο και το σταθερό, το μηδέν με το άπειρο। Αυτή η επαναστατική εξέλιξη των θετικών επιστημών που περιγράφει τους νόμους που διέπουν οικίες διαδικασίες της καθημερινής μας ζωής: από τους χτύπους της καρδιάς και τη σκέψη ως το σχηματισμό των νεφών και των καταιγίδων, από τη σύνθεση ενός ποιήματος ως την εξάπλωσης μιας πυρκαγιάς στο δάσος, από τον έλεγχο της οδικής κυκλοφορίας και την τεχνητή νοημοσύνη ως το έμφραγμα και τη σχιζοφρένεια, από την ανάπτυξη ενός πληθυσμού εντόμων ως τις διακυμάνσεις του χρηματιστηρίου। Αυτή είναι η επιστήμη της ολότητας που απλώνεται παντού και δε διστάζει να συνδέσει τη γεωμετρία πλανητικών συστημάτων με αυτήν, ενός αντικειμένου της καθημερινής μας ζωής। Μιας απλής βρύσης που στάζει...

Τι μένει λοιπόν μετά από αυτή τη μάχη μεταξύ Aιτιοκρατίας και Tυχαίοτητας; Πόσο «τυχαίες» είναι τώρα διαδικασίες όπως οι χτύποι της καρδιάς; Μήπως υπάρχει μια εξίσωση που να τις καθορίζει; Μια εξίσωση που θα παράγει τροχιές (χτύποι της καρδιάς) χαοτικές που αν και δε θα μπορούμε να τις προβλέπουμε εν τούτοις δε θα είναι τυχαίοι όπως μέχρι τώρα νομίζαμε. Πόσο τυχαίος είναι ο κόσμος που ζούμε; Σίγουρα όλα δεν είναι μια απλή μη γραμμική εξίσωση και σίγουρα απέχουμε πολύ από την κατάκτηση της απόλυτης εξίσωσης έτσι όπως την οραματίστηκε ο Pierre Simon de Laplace. Απέχουμε πολύ από το να απαντήσουμε αν πράγματι ο «Ο Θεός παίζει ζάρια» όπως τονίζει, το ακροτελεύτιο κάστρο της τυχαιότητας, η Κβαντομηχανική Θεωρία. Απέχουμε πολύ κι ας γνωρίζουμε σήμερα πως τα ζάρια είναι ένα καθαρό φαινόμενο μεταβατικού χάους. Δε θα πω τίποτα παραπάνω...

Θα πω ΝΑ ΜΗ ΓΕΛΙΟΜΑΣΤΕ...Δεν υπάρχει πόλεμος...Δεν υπήρξε ποτέ! Οι επιστημονικές θεωρίες δεν είναι ανακαλύψεις των νόμων της φύσης αλλά μάλλον επινοήσεις του ανθρώπινου νου। Αν κάποιος θέλει να ονειρεύεται κάποια μάχη ας είναι αυτή για την κατάκτηση της γνώσης...ας είναι η μάχη της πορεία μας προς το Θεό.

Άντε... και καλή νύχτα... κουράστηκα!!!

Δε θέλω σχόλιο. Ξέρω πως μπορεί αυτό το ποστ να κούρασε λίγο. Έκανα ό,τι μπορούσα για να το αποφύγω αυτό. Ήθελα να σκιαγράφησω όμως την πολύ βασική συμπεριφορά του χάους, η οποία δεν είναι τίποτε άλλο από μία πορεία που δεν κάνει κύκλους, δεν επαναλαμβάνεται, δεν ξεφεύγει.

Τώρα όμως εσύ θες και αριθμούς. Πολλά συστήματα (μαθηματικοί τύποι όπως λες) μπορούν να δημιουργήσουν χαοτικές τροχιές, δηλαδή να παράγουν ακολουθίες αριθμών που δεν επαναλαμβάνονται. Το εντυπωσιακό στοιχείο είναι πως οι τύποι αυτοί δε χρειάζεται να είναι μακροσκελείς και πολύπλοκοι.

Πάρε ένα computeraki :))

Το σημείο εκκίνησης (αρχική συνθήκη) είναι το x(0)=0.2. Υπολόγισε το επόμενο σημείο να είναι το
x(1)=4*x(0)*(1-x(0))=4*0.2*(1-0.2)=0.64

Το επόμενο σημείο είναι θα είναι το

x(2)=4*x(1)*(1-x(1))=4*0.64*(1-0.64)=0.9216

Το επόμενο σημείο θα είναι το

x(3)=4*x(2)*(1-x(2))=....

καθε επόμενο σημείο x(n) θα υπολογίζεται από το προηγούμενό του, x(n-1), με βάση τον πολύ απλό τύπο:

x(n)=4*x(n-1)*(1-x(n-1))

Οι αριθμοί αυτοί θα είναι πάντα πιο μεγάλοι από το μηδέν και πιο μικροί από τη μονάδα και δεν πρόκειται ποτέ να επαναλαμβάνονται.

Αυτή είναι μια ωραία χαοτική τροχιά...

Μία "κορυφή Everest" αυτής της εξίσωσης είναι η κορυφή x=0.75. Αν ξεκινήσεις από εκεί ( δηλαδή x(0)=0.75) τότε θα μείνεις για πάντα εκεί :

x(0)=0.75
x(1)=0.75
x(2)=0.75
.......

Είναι δηλαδή το σημείο όπου το ανεστραμμένο κοντάρι θα παραμείνει για πάντα όρθιο...

Αν όμως αντί για το 0.75 ξεκινήσεις από το 0.75000000001 ;

Ή αντί για το 0.75 ξεκινήσεις από το 0.74999999999 ;

Χάος... :)))