Πέμπτη 22 Μαΐου 2008
Τετάρτη 21 Μαΐου 2008
Η ακολουθία Fibonacci στη φύση
Στα μαθηματικά, το όριο της ακολουθίας Fibonacci ονομάζεται Χρυσή Αναλογία. Η αναλογία αυτή είναι περίπου ίση με τον αριθμό 1.618. Στη φύση, συναντάμε αυτή την αναλογία σε πολλούς τομείς της τέχνης και της επιστήμης.
Μετά από αρκετές ώρες έρευνας στο διαδίκτυο, όλα όσα διαβάζουμε σχετικά με την ακολουθία Fibonacci είναι αληθινά. Τελικά ο κόσμος μας είναι πραγματικά φανταστικός. Παρακάτω, παραθέτουμε μία λίστα με τους αριθμούς Fibonacci στη φύση. Κάποια από αυτά είναι πραγματικά εκπληκτικά.
Η κατανομή των σπόρων στο ηλιοτρόπιο είναι κυκλική. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το κέντρο του λουλουδιού. Ο αριθμός των σπειρών και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci.
Το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci. Το ίδιο και το κέλυφος του ναυτίλου (μαλάκιο). Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο είναι ότι το κέλυφος του ναυτίλου αναπτύσσεται σε τρισδιάστατες σπείρες, ενώ το κέλυφος των σαλιγκαριών αναπτύσσεται σε δισδιάστατες σπείρες.
Τα κουκουνάρια είναι ένα ακόμα τρανό παράδειγμα της ακολουθίας Fibonacci. Όλα τα κουκουνάρια αναπτύσσονται σε σπείρες, ξεκινώντας από τη βάση όπου ήταν ο μίσχος, και πηγαίνοντας κυκλικά μέχρι να φτάσουμε στην κορυφή.
Άλλο ένα παράδειγμα είναι το ανθρώπινο σώμα. Στο ανθρώπινο σώμα, η αναλογία του μήκους του πήχη του χεριού προς το μήκος του χεριού ισούται με 1.618, δηλαδή ισούται με τη Χρυσή Αναλογία. Άλλα γνωστά παραδείγματα στο ανθρώπινο σώμα είναι:
- Η αναλογία μεταξύ του μήκους και του φάρδους του προσώπου
- Η αναλογία την απόστασης μεταξύ των χειλιών και του σημείου που σμίγουν τα φρύδια προς το μήκος της μύτης
- Η αναλογία του μήκους του στόματος προς το φάρδος της μύτης
- Η αναλογία της απόστασης μεταξύ της γραμμής του ώμου και της κορυφής του κεφαλιού προς το μήκος του κεφαλιού
- Η αναλογία της απόστασης μεταξύ του ομφαλού και του γονάτου προς την απόσταση μεταξύ του γονάτου και της άκρης του ποδιού
- Η αναλογία της απόστασης μεταξύ του άκρου του δαχτύλου του χεριού και του αγκώνα προς την απόσταση μεταξύ του καρπού και του αγκώνα.
Δευτέρα 19 Μαΐου 2008
Fractals: η «πραγματική» γεωμετρία του κόσμου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Fractals: η «πραγματική» γεωμετρία του κόσμου
Από τις αστραπές και τους κεραυνούς ως τα μικροτσίπ και από τις ακτογραμμές ως τους καρκινικούς όγκους, η γεωμετρία των φράκταλ φαίνεται ότι κυριαρχεί στον κόσμο μας. Η κατανόηση των ιδιαιτεροτήτων της μπορεί να λύσει πολλά από τα καθημερινά μας προβλήματα
ΧΑΡΗΣ ΒΑΡΒΟΓΛΗΣ
Οι κεραυνοί που ζωντανεύουν το νέφος του ηφαιστείου Τσαϊτέν στη Χιλή είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα γεωμετρίας φράκταλ
Από τη γεωμετρία του σχολείου μάθαμε ότι στον κόσμο γύρω μας υπάρχουν αντικείμενα που έχουν μία, δύο ή τρεις διαστάσεις, είναι δηλαδή είτε γραμμές είτε επιφάνειες είτε στερεά σώματα. Η πραγματικότητα όμως είναι πολύ πιο σύνθετη, αφού στη φύση συναντάμε αντικείμενα που δεν είναι δυνατό να περιγραφούν με την παραπάνω απλοποιημένη μορφή της γεωμετρίας. Τα μορφοκλασματικά σύνολα (ή φράκταλς, όπως είναι ευρύτερα γνωστά) εισήχθησαν τις τελευταίες δεκαετίες στα σύγχρονα μαθηματικά για να καλύψουν αυτό ακριβώς το κενό. Μέχρι σήμερα η έρευνα σε αυτόν τον νέο κλάδο των μαθηματικών είχε επικεντρωθεί στη μελέτη των ιδιοτήτων των φράκταλς που έχουν ήδη δημιουργηθεί, ενώ στις εφαρμοσμένες θετικές επιστήμες εξίσου μεγάλο ενδιαφέρον έχει και η διαδικασία δημιουργίας τους. Πρόσφατα δημοσιεύθηκαν τα αποτελέσματα μιας επιστημονικής εργασίας του ισπανού μαθηματικού Κάρλος Εσκουντέρο, ο οποίος επικέντρωσε ακριβώς στη διαδικασία δημιουργίας φρακταλικών αντικειμένων που μπορεί να θεωρηθεί ότι περιγράφουν την ανάπτυξη καρκινικών όγκων και μικροτσίπ.
Η γεωμετρική διάσταση ενός αντικειμένου μπορεί να βρεθεί από το πλήθος των αριθμών που χρειάζονται για να καθορίσουμε τη θέση ενός σημείου του αντικειμένου αυτού. Σε μια γραμμή αρκεί ένας αριθμός για να καθορίσουμε τη θέση μας σε αυτήν, συνήθως η απόσταση από κάποια «αρχή». Ετσι η γραμμή έχει μία διάσταση. Παράδειγμα: η θέση μας σε έναν συγκεκριμένο δρόμο καθορίζεται με τη χιλιομετρική απόσταση από μια πόλη. Για τον καθορισμό της θέσης μας σε μια επιφάνεια χρειάζονται δύο αριθμοί, οπότε η επιφάνεια έχει δύο διαστάσεις. Παράδειγμα: στην επιφάνεια της Γης καθορίζουμε τη θέση μας με το γεωγραφικό μήκος και το γεωγραφικό πλάτος. Ομως υπάρχουν γεωμετρικά αντικείμενα όπου τα πράγματα δεν είναι τόσο ξεκάθαρα. Για παράδειγμα εδώ και περισσότερο από 100 χρόνια οι μαθηματικοί είχαν φανταστεί γραμμές που είναι τόσο πυκνά διατεταγμένες σε ένα επίπεδο, ώστε έχουν διάσταση μεγαλύτερη από 1, δηλαδή είναι «κάτι παραπάνω» από γραμμές, αλλά μικρότερη από 2, δηλαδή είναι «κάτι λιγότερο» από επιφάνεια. Τα αντικείμενα αυτά ονομάζονται «μορφοκλασματικά σύνολα» (fractals) και η διάστασή τους είναι κλασματικός και όχι ακέραιος αριθμός. Ετσι ένα φράκταλ με διάσταση 1,1 θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μια «τραχιά» μορφή γραμμής, ενώ ένα με διάσταση 2,3 θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μια «τραχιά» μορφή επιφάνειας. Στη φύση εμφανίζονται αντικείμενα με ιδιότητες φράκταλ σε πάρα πολλές περιπτώσεις. Περισσότερο εμφανή και γνωστά παραδείγματα είναι οι ακτές των νησιών, οι κεραυνοί και οι αστραπές, καθώς και τα συστήματα των αιμοφόρων αγγείων και των αεροφόρων οδών στα θηλαστικά.
Η αρχή της αυτοομοιότητας
Εμφανή φρακταλική μορφή παρουσιάζει και ο φυτικός «όγκος» που αναπτύχθηκε σε αγριολάχανο
Το βασικό χαρακτηριστικό των φράκταλς είναι η αυτοομοιότητα, η ιδιότητα δηλαδή όπου η μεγέθυνση μιας μικρής περιοχής του αντικειμένου δίνει ένα σχήμα ίδιο με το αρχικό, και η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί σε ολοένα μικρότερες κλίμακες. Η ιδιότητα αυτή κάνει τα μορφοκλασματικά σύνολα να είναι τα περισσότερο «ανώμαλα» γεωμετρικά αντικείμενα, τόσο «ανώμαλα» ώστε δεν είναι δυνατό να περιγραφούν με την κλασική γεωμετρία που μαθαίνουμε στο σχολείο. Αυτή όμως είναι η ιδανική εικόνα που έχει ένας μαθηματικός, ενώ ένας φυσικός βλέπει την κατάσταση με διαφορετικό πρίσμα. Γι' αυτόν ένα αντικείμενο δημιουργείται βαθμιαία: ξεκινάει από έναν μικρό «πυρήνα» και βήμα βήμα αναπτύσσεται, έως ότου φθάσει στις διαστάσεις και στη μορφή που παρατηρούμε τελικά. Επομένως οι φράκταλ ιδιότητες ενός φυσικού αντικειμένου είναι στενά συνδεδεμένες με τη διαδικασία της δημιουργίας του.
Μια εφαρμογή αυτής της εικόνας, με μεγάλο ενδιαφέρον στη βιομηχανία ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (δηλαδή μικροτσίπ), είναι η ανάπτυξη ημιαγωγών με τη διαδικασία της διαδοχικής εναπόθεσης λεπτών υμενίων. Κανονικά θα περίμενε κανείς η επιφάνεια του ημιαγωγού να είναι επίπεδη μετά την κάθε εναπόθεση, όμως πολλές φορές στην πράξη είναι «τραχιά» και παρουσιάζει ιδιότητες φράκταλ. Αιτία είναι η δημιουργία, στην αρχή της διαδικασίας, κάποιων μικρών ατελειών που δημιουργούν «σφαιρικές» ανωμαλίες, οι οποίες στη συνέχεια αναπτύσσονται ταχύτερα από την επίπεδη επιφάνεια. Το αποτέλεσμα είναι η τελική κατασκευή ενός ημιαγωγού με ανωμαλίες σε ολοένα μικρότερη κλίμακα, ο οποίος δεν είναι κατάλληλος για την κατασκευή ενός μικροτσίπ. Αν γνωρίζαμε την επίδραση της γεωμετρίας αυτών των ατελειών στην ανάπτυξη του ημιαγωγού, θα μπορούσαμε να επινοήσουμε μεθόδους αποφυγής της, με αποτέλεσμα σημαντική οικονομία από τον περιορισμό του αριθμού των «ελαττωματικών» προϊόντων. Αλλες ενδιαφέρουσες εφαρμογές, αυτή τη φορά στη βιολογία, είναι η πειραματική ανάπτυξη καρκινικών όγκων γύρω από σφαιροειδείς καρκινικούς πυρήνες καθώς και η ανάπτυξη αποικιών βακτηριδίων ή μυκήτων γύρω από έναν αρχικό πυρήνα επιμόλυνσης. Στις περιπτώσεις αυτές έχει παρατηρηθεί ότι τελικά οι όγκοι και οι αποικίες έχουν - και αυτοί - ιδιότητες φράκταλ.
Η σημασία της επιφάνειας
Το κοινό σημείο όλων των παραπάνω περιπτώσεων είναι το γεγονός ότι η ανάπτυξη του φράκταλ αντικειμένου συνδέεται στενά με το είδος της επιφάνειας πάνω στο οποίο αναπτύσσεται. Επομένως οι μέθοδοι που θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε για να πετύχουμε «καλές» επιφανειακές ιδιότητες, στην περίπτωση των ημιαγωγών, ή «μικρή» ταχύτητα ανάπτυξης, στην περίπτωση της βιολογίας, θα πρέπει να ξεκινούν από την κατανόηση ότι η μορφή της αρχικής επιφάνειας, γύρω από την οποία αναπτύσσεται το τελικό αντικείμενο, παίζει πρωταρχικό ρόλο στην τελική μορφή τού αντικειμένου και στην ταχύτητα ανάπτυξής του. Η θεωρητική δουλειά του Εσκουντέρο έδειξε ακριβώς ότι η ανάπτυξη ενός φράκταλ πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια δίνει εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα απ' ό,τι η ανάπτυξη επάνω σε μια επίπεδη. Υπάρχουν βάσιμες ελπίδες ότι η νέα αυτή αντίληψη θα βρει σύντομα εφαρμογή στην τεχνολογία και στην ιατρική.
Ο κ. Χ. Βάρβογλης είναι καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ.
Το ΒΗΜΑ, 18/05/2008
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)