Τρίτη 4 Δεκεμβρίου 2012
Κυριακή 12 Φεβρουαρίου 2012
Παρασκευή 19 Αυγούστου 2011
Περί… τετραγώνου
Το πρόβλημα: Δεδομένων τεσσάρων αυθαίρετων και διακεκριμένων σημείων A, B, C και D, να κατασκευαστεί μια ευθεία που να περνά από κάθε σημείο, έτσι ώστε οι τέσσερις ευθείες να σχηματίζουν ένα τετράγωνο.
Αφιερώστε ένα λεπτό, για να είστε σίγουροι ότι έχετε κατανοήσει πλήρως το πρόβλημα, πριν συνεχίσετε. Αν το κάνετε αυτό σωστά, τότε κάθε ευθεία θα περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα από τα δεδομένα σημεία και από καθένα από αυτά θα διέρχεται τουλάχιστον μια ευθεία.
Εδώ φαίνονται τρεις αποδεκτές λύσεις:
Αυτές οι δύο εικόνες δεν είναι αποδεκτές λύσεις:
Στην πρώτη εικόνα, καθεμία από τις ευθείες των πλευρών του τετραγώνου περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα από τα τέσσερα σημεία, αλλά το σημείο Β δε βρίσκεται σε καμία πλευρά του τετραγώνου ή προέκταση αυτής. Στη δεύτερη εικόνα, κάθε σημείο βρίσκεται σε μια τουλάχιστον πλευρά ή προέκταση αυτής, αλλά υπάρχει μια πλευρά/προέκταση, η οποία δεν περιλαμβάνει κανένα από τα τέσσερα δεδομένα σημεία.
Ας προχωρήσουμε τώρα - που μάλλον έχετε κατανοήσει το πρόβλημα - στη λύση/κατασκευή και διερεύνηση του προβλήματος.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, όπως λένε οι μαθηματικοί, ας ξεκινήσουμε με το σημείο Α. Φέρουμε μια ευθεία που περιέχει το σημείο Α και ας την ονομάσουμε (a) - μπορούμε να ανησυχούμε για την κατεύθυνσή της αργότερα. Μία από τις άλλες ευθείες πρέπει να είναι παράλληλη προς την ευθεία (α) και να περιλαμβάνει ένα από τα υπόλοιπα σημεία. Φέρουμε λοιπόν μια ευθεία παράλληλη στην (a) που να διέρχεται, έστω, από το σημείο Β και καλούμε αυτή (b). Οι άλλες δύο ευθείες πρέπει να είναι, προφανώς, κάθετες προς τις δύο προηγούμενες παράλληλες ευθείες, για να σχηματίζεται τετράγωνο και πρέπει να περιλαμβάνουν τα σημεία C και D. Κατασκευάζουμε αυτές τις ευθείες και τις ονομάζουμε (c) και (d), αντίστοιχα. Μήπως καταλήξαμε σε ένα τετράγωνο; Όπως ένας φίλος μου μαθηματικός λέει: «είναι δυνατόν, με πιθανότητα μηδέν». Αν δύο από τις ευθείες δε συμπίπτουν, το σχήμα που σχηματίστηκε είναιορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Η όλη κατασκευή έγινε με βάση τα τέσσερα αυθαίρετα σημεία και την ευθεία (a). Το να αλλάξουμε τη θέση οποιουδήποτε από τα σημεία θα ήταν απάτη!..., αλλά μπορούμε να αλλάξουμε την διεύθυνση της ευθείας (a). Καθώς το κάνουμε αυτό, οι διαστάσεις του ορθογωνίου αλλάζουν.
Κάντε κλικ πάνω στην εικόνα πιο κάτω, για να ανοίξετε μια βοηθητική εφαρμογή Java. Σύροντας το κόκκινο σημείο με την ένδειξη “drag” μπορείτε να αλλάζετε τη διεύθυνση της ευθείας (a). Οι ευθείες (b), (c) και (d) θα αλλάξουν διεύθυνση, δεδομένου ότι εξαρτώνται από την ευθεία (a). Επίσης, κάνοντας κλικ στο “show the graph” βλέπετε ένα διάγραμμα το οποίο 
θα σχολιάσουμε στη συνέχεια. Περιστρέφοντας κυκλικά το σημείο με την ένδειξη “drag” οι διαστάσεις του ορθογωνίου αλλάζουν - αυξομειώνονται. Αυτή η αυξομείωση των διαστάσεων του ορθογωνίου επαναλαμβάνεται κυκλικά δύο φορές, κάθε φορά που το σημείο ελέγχου “drag” συμπληρώνει έναν πλήρη κύκλο περιστροφής. Σε κάθε κυκλική περιστροφή κατά 1800 υπάρχουν δύο θέσεις στις οποίες σχηματίζεται ένα τετράγωνο. Αυτό ισχύει πάντα;
Η μια διάσταση του ορθογωνίου είναι η απόσταση μεταξύ των ευθειών (a) και (b). Η απόσταση αυτή κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και ΑΒ. Ομοίως, η άλλη διάσταση του ορθογωνίου είναι η απόσταση μεταξύ των ευθειών (c) και (d) και κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και CD. Αν οι δύο αυτές αποστάσεις είναι ίσες, τότε σχηματίζεται ένα τετράγωνο.
Προσπαθήστε τώρα να σύρετε τα τυχαία σημεία A, B, C και D. Είναι δυνατόν να ταξινομηθούν σε θέσεις τέτοιες, ώστε να μη σχηματίζεται ποτέ τετράγωνο;
Tώρα ας δούμε/μελετήσουμε το πιο κάτω διάγραμμα.
Είναι αυτό που εμφανίζεται, όταν κάνουμε κλικ στο “show the graph”. Το ύψος του κάθε γραφήματος από την κάτω οριζόντια γραμμή παριστάνει το μήκος της μιας διάστασης του ορθογωνίου. Έτσι, το κόκκινο γράφημα παριστάνει τη μια διάσταση του ορθογωνίου, δηλαδή την απόσταση μεταξύ των ευθειών (a) και (b) και το πράσινο γράφημα παριστάνει την άλλη διάσταση, δηλαδή την απόσταση μεταξύ των ευθειών (c) και (d). Εδώ φαίνεται μόνον ένας κύκλος αυξομείωσης των διαστάσεων του ορθογωνίου, δηλαδή περιστροφή του σημείου “drag” κατά 1800. Τα δύο γραφήματα έχουν την ίδια περίοδο. Παρατηρείστε ότι και τα δύο γραφήματα εφάπτονται του άξονα μια μόνο φορά για κάθε έναν κύκλο αυξομείωσης, οπότε είναι προφανές ότι πρέπει να τέμνονται. Γενικά, θα τέμνονται δύο φορές σε κάθε κύκλο. Τα σημεία τομής μεταξύ των δύο γραφημάτων παριστάνουν τις θέσεις στις οποίες οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ίσες, δηλαδή όταν σχηματίζεται τετράγωνο. Έτσι υπάρχουν πάντα δύο τετράγωνα. Συμφωνείτε; Μάλλον, ναι. Θα επανέλθουμε στο ζήτημα αυτό αργότερα.
Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από τις δύο αυτές λύσεις; Ας θυμηθούμε πώς σχηματίστηκε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ξεκινήσαμε με την ευθεία (a), η οποία διέρχεται από το σημείο Α και κατασκευάσαμε μια παράλληλη σε αυτήν ευθεία (b), η οποία διέρχεται από το σημείο Β. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με ένα διαφορετικό τρόπο. Κατασκευάστε παράλληλες ευθείες (a) και (c), οι οποίες διέρχονται από τα σημεία Α και C, αντίστοιχα και ευθείες (b) και (d) κάθετες στις προηγούμενες, έτσι ώστε να διέρχονται από τα σημεία Β και D, αντίστοιχα. Αυτό θα οδηγήσει στο σχηματισμό δύο τετραγώνων, δηλαδή σε μια επιπλέον λύση. Τώρα, ας ξεκινήσετε πάλι, αλλά αυτή τη φορά με τις παράλληλες ευθείες (a) και (d), οι οποίες διέρχονται από τα σημεία Α και D, αντίστοιχα και συνεχίστε όπως και προηγουμένως. Αυτό θα σας οδηγήσει σε μια επιπλέον λύση με δύο τετράγωνα, δηλαδή συνολικά τρεις λύσεις – έξι τετράγωνα.
Στη συνέχεια, περιγράφεται σχηματικά η κατασκευή μιας τυπικής λύσης.
|
1) Ξεκινήστε με τέσσερα αυθαίρετα σημεία A, B, C και D. |
2) Κατασκευάστε σημείο E κάνοντας μια μεταφορά του σημείου A κατά διάνυσμα CD. |
|
3) Περιστρέψτε το σημείο E κατά 90° γύρω από το σημείο A. Ονομάστε την εικόνα του F. |
4) Κατασκευάστε την ευθεία BF, κατασκευάστε μια ευθεία παράλληλη σε αυτήν που να διέρχεται από το A. Κατασκευάστε ευθείες που να διέρχονται από τα C και D και να είναι κάθετες στη BF. |
Με την κατασκευή αυτή σχηματίζεται ένα τετράγωνο σε μια από τις προηγούμενες λύσεις. Στη συγκεκριμένη λύση οι ευθείες (a) και (b) είναι παράλληλες. Για να πάρετε το δεύτερο τετράγωνο, αλλάξτε τη γωνία περιστροφής σε 2700 στο βήμα 3. Για να πάρετε ένα από τα άλλα ζεύγη λύσεων, ξεκινήστε τη παραπάνω κατασκευή με ένα από τα υπόλοιπα τρία σημεία Β, C ή D.
Κάντε κλικ στην εικόνα επάνω, για να δείτε και τις τρεις λύσεις-έξι τετράγωνα. Τα τρία ζεύγη διακρίνονται από τα διαφορετικά χρώματα. Μετακινώντας τα ελεύθερα σημεία μπορεί, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, να εξαφανιστεί ένα ζευγάρι τετραγώνων. Γεννώνται βέβαια κάποιες απορίες. Γιατί εμφανίζονται πάντα ζευγάρια τετραγώνων; Κάτω από ποιες συνθήκες εξαφανίζονται; Είναι δυνατόν να εξαφανιστούν τα τέσσερα ή και τα έξι τετράγωνα;
Ας εξετάσουμε τα παραπάνω ερωτήματα αναλυτικότερα. Γιατί εμφανίζονται πάντα ζευγάρια τετραγώνων; Επιστρέψτε στην προηγούμενη βοηθητική εφαρμογή Java. Τονίστηκε προηγουμένως ότι με τις παράλληλες ευθείες (a) και (b) υπάρχουν πάντα δύο τετράγωνα, διότι οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται δύο φορές σε κάθε κύκλο αυξομείωσης. Αυτό δεν είναι εντελώς σωστό. Τι θα συμβεί, εάν οι δύο γραφικές παραστάσεις τμηθούν σε σημείο που βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή σε σημείο που και οι δύο έχουν ύψος μηδέν; Σε αυτή την περίπτωση τα δύο γραφήματα θα τέμνονται μια μόνο φορά ανά κύκλο αυξομείωσης και ανά δύο οι παράλληλες ευθείες θα ταυτίζονται. Σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση δεν υπάρχει τετράγωνο, αφού το ορθογώνιο εκφυλίζεται σε ένα σημείο, οπότε αυτή η τομή δεν αποτελεί λύση.
Είναι εύλογο να αναζητήσουμε ποιες συνθήκες προκαλούν αυτή τη περίπτωση. Ένας μικρός πειραματισμός / συλλογιστική θα δείξει ότι αυτό συμβαίνει όταν οι ευθείες AB και CD είναι κάθετες μεταξύ τους. Μετακινήστε τα τέσσερα δεδομένα σημεία σε μια τέτοια θέση και σύρετε το κόκκινο σημείο “drag”, που ελέγχει τις διευθύνσεις των ευθειών. Θα δείτε μερικές ενδιαφέρουσες συμπεριφορές του ορθογωνίου που σχηματίζεται από τις τομές των ευθειών αυτών. Αλλάζει το μέγεθος του ορθογωνίου, αλλά ο λόγος μήκος / πλάτος παραμένει σταθερός. Αυτό το γεγονός εμποδίζει να σχηματιστεί τετράγωνο.
Ακόμα και στην περίπτωση αυτή, που οι ευθείες AB και CD είναι κάθετες, μπορεί να υπάρχουν λύσεις. Αντί να έχουμε την ευθεία (a) παράλληλη με την ευθεία (b), κάνουμε τις ευθείες (a) και (c) παράλληλες. Με τον τρόπο αυτό σχηματίζεται ένα ζεύγος τετραγώνων, εκτός αν και οι ευθείες AC και BD είναι και αυτές κάθετες. Τι θα συμβαίνει, αν και αυτές είναι κάθετες; Τότε θα έχουμε AB ┴ CD και AC ┴ BD, οπότε τα σημεία A, B, C και D σχηματίζουν ορθοκεντρικό σύστημα, οπότε θα είναι και AD ┴ BC (δηλαδή εδώ έχουμε τις κορυφές ενός τριγώνου και το ορθόκεντρό του, που είναι το σημείο τομής των υψών του). Αυτός είναι και ο λόγος που στη μικροεφαρμογή Java των έξι τετραγώνων στην παραπάνω δεξιά εικόνα έχουμε τις εξής περιπτώσεις: ή θα εμφανίζονται μόνο δύο λύσεις (τέσσερα τετράγωνα), ή θα εξαφανιστούν και οι τρεις λύσεις (έξι τετράγωνα), αλλά δεν είναι δυνατόν να υπάρξει η περίπτωση κατά την οποία θα εξαφανιστούν οι δύο λύσεις (τέσσερα τετράγωνα) και θα μείνει μόνο μία λύση (δύο τετράγωνα). Το τελευταίο μπορεί να συμβεί όταν δύο από δεδομένα σημεία ταυτίζονται, αλλά τότε δε θα έχουμε τέσσερα διακεκριμένα σημεία.
Έτσι, φαίνεται ότι υπάρχουν πάντα λύσεις εκτός από την περίπτωση που τα τέσσερα σημεία αποτελούν ορθοκεντρικό σύστημα. Υπάρχει όμως ακόμα ελπίδα… Ας επιστρέψουμε και πάλι στην μικροεφαρμογή Java. Μετακινήστε τα σημεία, έτσι ώστε AB ┴ CD. Αναφέρθηκε προηγουμένως ότι στην περίπτωση αυτή διατηρείται σταθερός ο λόγος του μήκους των πλευρών του ορθογωνίου, με αποτέλεσμα να μη σχηματίζεται τετράγωνο. Τι γίνεται, όμως, όταν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις έχουν και το ίδιο πλάτος; Παρατηρήστε ότι οι δύο γραφικές παραστάσεις έχουν την ίδια περίοδο και μηδενική διαφορά φάσης (μετατόπιση), γεγονός που τις κάνει να τέμνονται σε σημείο του άξονα, όταν και οι δύο έχουν ύψος μηδέν. Στην περίπτωση αυτή οι δύο γραφικές παραστάσεις συμπίπτουν. Τότε το μήκος και το πλάτος του ορθογωνίου είναι ίσα, οπότε σχηματίζεται πάντα τετράγωνο, με αποτέλεσμα να μην έχει σημασία ποια διεύθυνση θα επιλεγεί για τις ευθείες που φέρουμε. Υπάρχουν άπειρες λύσεις, δηλαδή άπειρα τετράγωνα. Για να δημιουργήσετε τη ρύθμιση αυτή, οι ευθείες AB και CD πρέπει να είναι κάθετες και ΑΒ = CD.
Αυτό μπορεί να συμβεί σε ένα ορθοκεντρικό σύστημα. Η σύνδεση πάνω στην αριστερή εικόνα θα σας μεταφέρει σε μια άλλη μικροεφαρμογή Java. Αυτό είναι ένα ορθοκεντρικό σύστημα. Τα σημεία A, B και C είναι τυχαία, αλλά το σημείο D είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC. Τα τρία χρώματα αντιπροσωπεύουν τις προσπάθειες, ώστε η ευθεία (a) να συνδυαστεί με την (b) - μπλε, (c) - κόκκινη ή την (d) - πράσινη. Παρατηρήστε ότι, όταν αλλάζουν οι διευθύνσεις των ευθειών, τα ορθογώνια αλλάζουν σε μέγεθος, αλλά ο λόγος μήκος / πλάτος δεν αλλάζει. Κάνοντας κλικ σε ένα από τα κουμπιά “Square” θα κινηθεί το αντίστοιχο συνδεδεμένο σημείο σε μια κατάλληλη θέση, στην οποία ένα από τα ορθογώνια θα γίνει τετράγωνο. Κατ’ αρχάς, μείνετε μακριά από το μαύρο κουμπί “Show locus”. Αν μετακινήσουμε μόνο το σημείο C, το σημείο D αυτόματα θα κινηθεί, έτσι ώστε να διατηρείται η σχέση του ορθοκεντρικού συστήματος. Σε ποια θέση μπορεί να μεταφερθεί το σημείο C, ώστε να υπάρχει λύση; Είναι δυνατόν να υπάρχει λύση ταυτόχρονα για δύο από τα χρώματα; Είναι δυνατόν και για τα τρία χρώματα; Παρατηρείστε ότι κάθε φορά μόνο ένα από τα τρία ορθογώνια μπορεί να γίνει τετράγωνο. Αν προσπαθήσετε να κάνετε τετράγωνο και κάποιο από τα άλλα δύο ορθογώνια, το προηγούμενο τετράγωνο δεν παραμένει. Γιατί; Τι συμβαίνει αν προσπαθήσετε κάτι τέτοιο; Μπορείτε να το δικαιολογήσετε;
Κάνοντας τώρα κλικ στο “ Show locus ” θα εμφανιστούν οι θέσεις των σημείων, τις οποίες μπορεί να καταλάβει το σημείο C, για να δημιουργηθεί μια λύση.
Συμπέρασμα
Η κατασκευή τετραγώνου τεσσάρων σημείων είναι πάντα δυνατή, όταν τα τέσσερα σημεία δεν αποτελούν ορθοκεντρικό σύστημα. Γενικά, υπάρχουν τρεις λύσεις (έξι τετράγωνα). Αν δύο ζεύγη σημείων ξένα μεταξύ τους ορίζουν κάθετες ευθείες, γενικά υπάρχουν δύο λύσεις (τέσσερα τετράγωνα). Ωστόσο, εάν τα δύο αυτά ζεύγη σημείων είναι και σε ίση απόσταση, τότε υπάρχουν άπειρες λύσεις.
Δρ. Σωτηρόπουλος ΝίκοςΜαθηματικός
Αναφορά: Whistler Alley Mathematics by Paul Kunkel
Παρασκευή 10 Ιουνίου 2011
Μαθηματική φόρμουλα εξηγεί πώς καταφέρνουμε να κάνουμε ποδήλατο
Το ποδήλατο υποτίθεται ότι είναι εύκολο, όταν βέβαια πια το έχεις μάθει (μέχρι να το μάθεις, είναι τα δύσκολα). Το μόνο που έχει να κάνει κανείς, είναι να γυρίζει τα πεντάλ αρκετά γρήγορα για να συνεχίσει να ισορροπεί και να κινείται, αλλιώς θα πέσει.
Όμως τώρα, μετά από τρία χρόνια επίπονων προσπαθειών, ερευνητές από τρεις χώρες (ΗΠΑ, Βρετανία, Ολλανδία), δημιούργησαν μια πολύπλοκη μαθηματική φόρμουλα που, αν μη τι άλλο, δείχνει ότι αυτό που το σώμα και ο εγκέφαλός ακόμα κι ενός δεκάχρονου παιδιού κάνουν ενστικτωδώς, στην πραγματικότητα είναι τρομερά πολύπλοκο από φυσικο-μαθηματική άποψη.
Οι επιστήμονες από τρία πανεπιστήμια κατέληξαν σε μια εξίσωση-σιδηρόδρομο που περιλαμβάνει 31 αριθμούς και σύμβολα και εννέα παρενθέσεις! Η φόρμουλα λαμβάνει, μεταξύ άλλων, υπόψη της διάφορες παραμέτρους και δυνάμεις, όπως την αδράνεια, τη γυροσκοπική και την κεντρόφυγο δύναμη, τη βαρύτητα, την κλίση του ποδηλάτη, τη ροπή στρέψης (στροφορμή) κ.α.
Όπως δήλωσε ένας από τους ερευνητές, ο δρ Αρεντ Σβαμπ του ολλανδικού Πανεπιστημίου Τεχνολογίας Ντελφτ, σύμφωνα με τη βρετανική «Τέλεγκραφ», από τότε που εφευρέθηκε το ποδήλατο στη δεκαετία του 1860, οι μαθηματικοί και οι φυσικοί πασχίζουν να εφαρμόσουν τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα για να εξηγήσουν την μοναδική ικανότητα ισορροπίας και κίνησης του ποδηλάτη.
Οι ερευνητές ελπίζουν ότι η εξίσωσή τους θα βοηθήσει στον καλύτερο σχεδιασμό των μελλοντικών ποδηλάτων, διευκολύνοντας τους κατασκευαστές να προσαρμόσουν τα σχέδια τους έτσι ώστε τα ποδήλατά τους να είναι πιο σταθερά. Σίγουρα όμως δεν θα βοηθήσει καθόλου τους πιτσιρικάδες (και τις πιτσιρίκες), όταν φτάνει εκείνη η τρομερή στιγμή που ο μπαμπάς αφαιρεί τις βοηθητικές ροδίτσες και πρέπει πια μόνοι τους να κινηθούν στις δύο ρόδες!
ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ: ΤΟ ΒΗΜΑ 23/06/2010
Κυριακή 31 Οκτωβρίου 2010
Μπενό Μάντελμπροτ, 1924 -σήμερα (Benoit B. Mandelbrot)
Ο Benoit Mandelbrot γεννήθηκε στις 20 Νοεμβρίου του 1924 στη Βαρσοβία (Πολωνία)। Θεωρείται ότι είναι σε μεγάλο βαθμό υπεύθυνος για το ενδιαφέρον που υπάρχει στην εποχή μας για τη φρακταλική γεωμετρία. Κατάφερε να επιδείξει το πώς τα Φράκταλς εμφανίζονται σε διάφορα πεδία, εκτός των μαθηματικών, σχεδόν σε κάθε έκφραση της φύσης.
Η οικογένειά του μετανάστευσε στη Γαλλία το 1936 και ο θείος του Szolem Mandelbrot, που ήταν καθηγητής Μαθηματικών στο Γαλλικό Κολλέγιο και διάδοχος του Hadamard σε αυτό το πόστο, πήρε την ευθύνη για τη μόρφωσή του. Στην πραγματικότητα η επιρροή του Szolem Mandelbrot ήταν ταυτόχρονα θετική και αρνητική, καθώς υπήρξε μεγάλος θαυμαστής του Hardy και της Φιλοσοφίας του περί Μαθηματικών. Αυτό δημιούργησε μία αντίδραση στον Mandelbrot για τα Καθαρά Μαθηματικά, αν και, τώρα πλέον, ο ίδιος λέει ότι κατανοεί πως ο βαθύς ειρηνισμός του Hardy τον έκανε να φοβάται ότι τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, στα λάθος χέρια, μπορεί να χρησιμοποιούνταν για κακό σε καιρό πολέμου.
Ο Mandelbrot φοίτησε στο Λύκειο Rolin στο Παρίσι μέχρι την έναρξη του 2ου παγκοσμίου πολέμου, όταν η οικογένειά του μετακόμισε στην Tulle στην κεντρική Γαλλία. Αυτή ήταν μία εποχή εξαιρετικής δυσκολίας για τον Mandelbrot που φοβήθηκε για την ζωή του σε πολλές περιπτώσεις. Ο πόλεμος, η συνεχής απειλή της φτώχιας και η ανάγκη επιβίωσης τον κράτησαν μακριά από το σχολείο και το κολέγιο και, παρότι αναγνωρίζει τους δασκάλους του της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ως «θαυμάσιους», ο ίδιος ήταν σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος.
Ο Mandelbrot τώρα αποδίδει μεγάλο μέρος της επιτυχίας του στη μη συμβατική του εκπαίδευση. Του επέτρεψε να σκέφτεται με τρόπους που μπορεί να ήταν δύσκολοι για κάποιον που μέσω της συμβατικής εκπαίδευσης ενθαρρύνεται σθεναρά να σκέφτεται με δεδομένους τρόπους. Επίσης του επέτρεψε να αναπτύξει μία υψηλά γεωμετρική προσέγγιση των μαθηματικών, και η αξιοσημείωτη γεωμετρική του διαίσθηση και οπτική άρχισε να του δίνει μοναδικές ενοράσεις πάνω σε μαθηματικά προβλήματα.
Μετά τη φοίτησή του στη Λυών, ο Mandelbrot μπήκε στην Ecole Normale στο Παρίσι. Μάλλον ήταν μία από τις πιο σύντομες φοιτήσεις εκεί, αφού έφυγε μετά από μία μόλις ημέρα! Μετά από μία πολύ επιτυχημένη απόδοση στις εξετάσεις εισαγωγής στην Ecole Polytechnique, ο Mandelbrot ξεκίνησε τις σπουδές του εκεί το 1944. Φοίτησε υπό την καθοδήγηση του Paul Levy, που ήταν άλλος ένας άνθρωπος με ισχυρή επίδραση πάνω του.
Μετά τη συμπλήρωση των σπουδών του εκεί, πήγε στις Η.Π.Α., όπου επισκέφθηκε το Ινστιτούτο Τεχνολογίας στην Καλιφόρνια. Μετά από ένα διδακτορικό από το Πανεπιστήμιου του Παρισιού, πήγε στο Ινστιτούτο Προωθημένων Σπουδών στο Princeton, όπου μπήκε υπό την επίβλεψη του John von Neumann.
Επέστρεψε στη Γαλλία το 1955 και εργάστηκε στο Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας. Παντρεύτηκε την Aliette Kagan κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου όπου διέμενε στη Γαλλία και στη Γενεύη, αλλά δεν του πήρε μεγάλο χρονικό διάστημα για να επιστρέψει στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο Clark αναφέρει τις αιτίες για την απογοήτευσή του με το στυλ Μαθηματικών στην Γαλλία εκείνη την εποχή:
«Βαθιά ενασχολημένος με τις πιο εξωτικές μορφές της Στατιστικής Μηχανικής και της Μαθηματικής Γλωσσολογίας και γεμάτος από μη τυποποιημένες δημιουργικές ιδέες βρήκε τη γαλλική μαθηματική σχολή σκέψης Bourbaki να μη βρίσκεται στο ύψος των επιστημονικών του αξιώσεων, και το 1958 έφυγε για τις Η.Π.Α. μονίμως και άρχισε τη μακρόχρονη και αποδοτική του συνεργασία με την ΙΒΜ σαν Συνεργάτης στα διάσημε εργαστήρια στο Yorktown Heights στην πολιτεία της Νέας Υόρκης.»
Η ΙΒΜ παρείχε στον Mandelbrot ένα περιβάλλον που του επέτρεψε να εξερευνήσει μία μεγάλη ποικιλία διαφορετικών ιδεών. Έχει πει ότι αυτή η ελευθερία να επιλέξει τις κατευθύνσεις που ήθελε ο ίδιος να πάρει στην έρευνά του, του έδωσε ευκαιρίες που κανένα Πανεπιστήμιο δε θα μπορούσε να του δώσει. Μετά την απόσυρση από την IBM, βρήκε παρόμοιες ευκαιρίες στο Πανεπιστήμιο του Yale, που είναι επί του παρόντος Καθηγητής των Μαθηματικών Επιστημών.
Το 1945 ο θείος του του είχε παρουσιάσει τη σημαντική εργασία του Julia (του 1918), ισχυριζόμενος πως είναι αριστουργηματική και μία πιθανή πηγή ενδιαφερόντων προβλημάτων, αλλά δεν άρεσε τότε στον Mandelbrot. Αντί αυτού αντέδρασε μάλλον άσχημα στις προτάσεις του θείου του, καθώς αισθανόταν ότι η συνολική του στάση απέναντι στα Μαθηματικά ήταν πολύ διαφορετική από του ίδιου. Επέλεξε τη δική του, πολύ διαφορετική πορεία, που όμως τον έφερε ξανά πίσω στην εργασία του Julia τη δεκαετία του 1970, μετά από ένα μονοπάτι μέσα από διαφορετικές επιστήμες, που πολλοί χαρακτηρίζουν ως υψηλά ατομικιστικό ή νομαδικό. Στην πραγματικότητα η απόφαση του Mandelbrot να συνεισφέρει σε πολλούς διαφορετικούς κλάδους της Επιστήμης ήταν απολύτως συνειδητή και μάλιστα πάρθηκε στη νεαρή του ηλικία. Είναι αξιοσημείωτο το πώς κατόρθωσε να ικανοποιήσει αυτή του τη φιλοδοξία με τόσο αξιοσημείωτη επιτυχία σε τόσους διαφορετικούς τομείς.
Με τη βοήθεια των γραφικών μέσω υπολογιστών, ο Mandlbrot, που τότε δούλευε στο Ερευνητικό Κέντρο Watson της ΙΒΜ, κατάφερε να δείξει πως η εργασία του Julia είναι η πηγή για τα πιο όμορφα Φράκταλς που είναι γνωστά σήμερα (τα Σύνολα Julia). Για να το κάνει αυτό, δε χρειάστηκε μόνο να αναπτύξει νέες μαθηματικές ιδέες, αλλά να παράγει μερικά από τα πρώτα υπολογιστικά προγράμματα εκτύπωσης γραφικών.Δική του επινόηση υπήρξε το λεγόμενο σύνολο ή φράκταλ του Mandelbrot που είναι ένα σύνολο συνδεδεμένων σημείων πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Ο τρόπος παράστασής του είναι ο εξής:
Επιλέγουμε ένα σημείο z0 στο μιγαδικό επίπεδο. Κάνουμε τη σειρά των υπολογισμών:
z1= z02 + z0
z2 = z12 + z0
z3 = z22 + z0
. . .
Εάν η αλληλουχία z0 , z1 , z2 , z3 , ... παραμένει μέσα σε μία απόσταση 2 μονάδων από το αρχικό σημείο συνεχώς, τότε το σημείο z0 λέγεται ότι ανήκει στο Σύνολο Mandelbrot. Εάν η αλληλουχία αποκλίνει από την αρχή της, τότε το σημείο δεν ανήκει στο Σύνολο. Το Σύνολο του Mandelbrot μπορεί να θεωρηθεί ως η Βιβλιοθήκη όλων των συνόλων Julia, καθώς, ξεκινώντας από κάθε σημείο που ανήκει σε αυτό, μπορούμε να πάρουμε, μέσω ενός αλγόριθμου, το σχετιζόμενο σύνολο Julia.
Η δουλειά του πρωτοδημοσιεύθηκε το 1975 στο βιβλίο του «Les objets fractals, forn, hasard et dimension» και πιο πλήρως στο «Η Φρακταλική Γεωμετρία της Φύσης», το 1982.
Στις 23 Ιουνίου του 1999 ο Mandelbrot έλαβε τον τιμητικό τίτλο του Δόκτωρα των Επιστημών από το Πανεπιστήμιο του St Andrews. Κατά τη διάρκεια της τελετής, ο Peter Clark εκφώνησε ένα λόγο που έθετε τα επιτεύγματα του Mandelbrot στο επίκεντρο.
Παραθέτουμε από εκείνον το λόγο:
«... στο κλείσιμο του αιώνα όπου η κίνηση της ανθρώπινης εξέλιξης διανοητικά, πολιτικά και ηθικά φαίνεται ίσως να είναι, στην καλύτερη των περιπτώσεων, αμφιλεγόμενη και διφορούμενη, υπάρχει μία περιοχή της ανθρώπινης δραστηριότητας όπου η ιδέα και η επίτευξη της εξέλιξης είναι αναμφίβολη και διαυγέστατατα ξεκάθαρη. Αυτή είναι τα Μαθηματικά. Το 1900, σε μία διάσημη διάλεξη στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στο Παρίσι, ο David Hilbert κατέγραψε 25 άλυτα προβλήματα ξεχωριστής σημασίας. Πολλά από αυτά τα προβλήματα έχουν οριστικά επιλυθεί ή αποδείχθηκε ότι είναι άλυτα, και το επιστέγασμα είναι αυτό που όλοι γνωρίζουμε στα πρόσφατα χρόνια του μέσου της δεκαετίας του 1990, η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat. Το πρώτο από τα προβλήματα του Hilbert αφορούσε ένα πλήθος από ζητήματα σχετικά με τη φύση του Συνεχούς ή του πραγματικού ορίου, μία μέγιστη ενασχόληση της ανάλυσης του 19ου και 20ου αιώνα. Το πρόβλημα ήταν ταυτόχρονα γεωμετρικό, αφορώντας την φύση της γραμμικής σκέψης που δομείται από σημεία και της αριθμητικής σκέψης ως τη θεωρία των πραγματικών αριθμών. Η σύζευξη αυτών των δύο πεδίων ήταν ένα από τα μεγάλα επιτεύγματα του Richard Dedekind και του George Cantor.
Στη βάση αυτής της επίτευξης βρίσκονται κάποια πολύ εκπληκτικά γεωμετρικά αντικείμενα. Για όλους εκείνη την εποχή φάνταζαν παράξενα, στην πραγματικότητα αληθινά νοσηρά τέρατα. Τόσο αλλόκοτα ήταν που αναμεταξύ τους υπήρχαν μονοδιάστατες γραμμές που γέμιζαν δυσδιάστατους χώρους, καμπύλες που είχαν καλή «συμπεριφορά», εάν εξαιρέσουμε βέβαια το ότι δεν είχαν κλίση σε κανένα σημείο! Και είχαν επίσης και περίεργα ονόματα, όπως η καμπύλη του Peano που γέμιζε το χώρο, η λωρίδα του Sierpinski, η νιφάδα του Koch, η σκόνη του Cantor. Παρά τις «παθολογικές» τους ιδιότητες, την εξαιρετική τους περιπλοκότητα, ειδικά όταν έβλεπες αυτά τα αντικείμενα σε όλο και μεγαλύτερη λεπτομέρεια, ήταν πολύ συχνά πολύ απλό το να τα περιγράψεις, καθώς οι κανόνες που τα παρήγαγαν ήταν εξωφρενικά απλοί για να τους διατυπώσεις. Τόσο παράξενα ήταν αυτά, που οι μαθηματικοί άρχισαν να μην ασχολούνται μαζί τους και να τα παραμερίζουν ως πολύ αλλόκοτα για να ασχοληθούν με αυτά. Τουλάχιστον μέχρι ο τιμώμενος να φτιάξει από αυτά μία ολοσχερώς καινούργια επιστήμη, τη θεωρία της φρακταλικής γεωμετρίας. Ήταν η ενόρασή του και το όραμά του που έβλεπε μέσα σε αυτά τα αντικείμενα και τα πολλά άλλα που ανακάλυψε, που κάποια φέρουν τώρα το όνομά του, όχι ως μαθηματικές παραδοξότητες αλλά σαν σημάδι για ένα καινούργιο μαθηματικό Σύμπαν, μία νέα Γεωμετρία με τόση συστηματική προσέγγιση και γενικότητα, όπως αυτό του Ευκλείδη και για μία νέα Φυσική Επιστήμη.»
Εκτός από συνεργάτης της ΙΒΜ στο Ερευνητικό Κέντρο Watson, ο Mandelbrot ήταν καθηγητής της Πρακτικής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Harvard. Επίσης, κρατούσε διδακτικές ώρες ως Καθηγητής Μηχανικής στο Yale, ως Καθηγητής Μαθηματικών στην Ecole Polytechnique, ως Καθηγητής Οικονομικών στο Harvard και ως καθηγητής Φυσιολογίας στο Κολέγιο Ιατρικής Einstein. Οι εξερευνήσεις του Mandelbrot σε τόσους διαφορετικούς κλάδους της Επιστήμης ήταν, όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, όχι ένα ατύχημα αλλά μία εσκεμμένη απόφαση από μέρους του. Όπως το γεγονός ότι τα Φράκταλς είναι τόσο διαδομένα τελικά στη φύση που οδήγησε στην κατεύθυνση και σε άλλα πεδία:
«Τα Φράκταλς και τα προ-φράκταλς που κάποτε παρατηρήθηκαν βρίσκονται παντού. Υπάρχουν στη Φυσική στην περιγραφή της εξαιρετικά περίπλοκης συμπεριφοράς μερικών απλών φυσικών συστημάτων, όπως το ενισχυόμενο εκκρεμές και της τεραστίως παράξενης συμπεριφοράς της τυρβώδους ροής και της εναλλαγής φάσεων. Είναι τα θεμέλια αυτού που τώρα είναι γνωστό ως χαοτικά συστήματα. Επισυμβαίνουν στην Οικονομία με τη συμπεριφορά των τιμών και, όπως ο Poincare (γάλλος Μαθηματικός που θεωρείται ο πατέρας της χαοτικής δυναμικής) υποψιάστηκε αλλά ποτέ δεν απέδειξε, στη συμπεριφορά του χρηματιστηρίου. Υπάρχουν στη Φυσιολογία της ανάπτυξης των κυττάρων των θηλαστικών. Είτε το πιστεύετε είτε όχι βρίσκονται... στους κήπους. Παρατηρήστε προσεκτικά και θα βρείτε μία διαφορά μεταξύ των ανθοφόρων στελεχών του μπρόκολου και του κουνουπιδιού, μία διαφοροποίηση που μπορεί να περιγραφεί επακριβώς με τη θεωρία των Φράκταλς!»
Ο Mandelbrot έλαβε (και λαμβάνει ακόμη και σήμερα, π.χ. το Ιαπωνικό Βραβείο για την Επιστήμη και την Τεχνολογία το 2003) πάρα πολλά βραβεία, αλλά ίσως το μεγαλύτερο από όλα τα επιτεύγματά του είναι ότι απέδειξε πολύ πρακτικά και «οπτικά» κατανοητά ότι τα Μαθηματικά και η Γεωμετρία βρίσκονται πίσω και μέσα σε όλα τα φαινόμενα της Φύσης, μέσα από μία παράδοξη και οπωσδήποτε μη συμβατική και στυγνά «εργαστηριακή», χαοτική λογική εικόνων που υποκρύπτει, σαν σε βαθιά υπερβατική ενόραση, την απόλυτη υπερτάξη. Λες και μέσα στις γωνιές και στις «τερατώδεις» καμπύλες των αλλόκοτων σχημάτων που εξερεύνησε και ο ίδιος «ανακάλυψε» λάμπει για λίγες στιγμές η κρυμμένη, πλην πανταχού, θεότητα.
«Όντας μία γλώσσα, τα Μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν όχι μόνον για να πληροφορήσουν αλλά, μεταξύ άλλων πραγμάτων, για να σαγηνεύσουν» - Benoit Β. Mandelbrot
Βιβλιογραφία - Παραπομπές:
The Fractal Geometry of Nature, Benoit B. Mandelbrot
Ο Ταραγμένος Καθρέφτης
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Mandelbrot.html
http://www.andrews.edu/~calkins/math/biograph/biomandl.htm
http://www.fractovia.org/people/mandelbrot.html
http://www.utorec.com/dv-5-001/uwp-001/uwp-114.htm
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Quotations/Mandelbrot.html
http://seamonkey.ed.asu.edu/~alex/computer/sas/math_reality.html
http://www.weichbrodt.org/text/chaos.html
http://www.staff.ncl.ac.uk/david.harvey/AEF801/Why/Realism.html
http://www.geocities.com/d