Περί… τετραγώνου

Το πρόβλημα: Δεδομένων τεσσάρων αυθαίρετων και διακεκριμένων σημείων A, B, C και D, να κατασκευαστεί μια ευθεία που να περνά από κάθε σημείο, έτσι ώστε οι τέσσερις ευθείες να σχηματίζουν ένα τετράγωνο.

Αφιερώστε ένα λεπτό, για να είστε σίγουροι ότι έχετε κατανοήσει πλήρως το πρόβλημα, πριν συνεχίσετε. Αν το κάνετε αυτό σωστά, τότε κάθε ευθεία θα περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα από τα δεδομένα σημεία και από καθένα από αυτά θα διέρχεται τουλάχιστον μια ευθεία.

Εδώ φαίνονται τρεις αποδεκτές λύσεις:

Αυτές οι δύο εικόνες δεν είναι αποδεκτές λύσεις:

Στην πρώτη εικόνα, καθεμία από τις ευθείες των πλευρών του τετραγώνου περιλαμβάνει τουλάχιστον ένα από τα τέσσερα σημεία, αλλά το σημείο Β δε βρίσκεται σε καμία πλευρά του τετραγώνου ή προέκταση αυτής. Στη δεύτερη εικόνα, κάθε σημείο βρίσκεται σε μια τουλάχιστον πλευρά ή προέκταση αυτής, αλλά υπάρχει μια πλευρά/προέκταση, η οποία δεν περιλαμβάνει κανένα από τα τέσσερα δεδομένα σημεία.

Ας προχωρήσουμε τώρα - που μάλλον έχετε κατανοήσει το πρόβλημα - στη λύση/κατασκευή και διερεύνηση του προβλήματος.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, όπως λένε οι μαθηματικοί, ας ξεκινήσουμε με το σημείο Α. Φέρουμε μια ευθεία που περιέχει το σημείο Α και ας την ονομάσουμε (a) - μπορούμε να ανησυχούμε για την κατεύθυνσή της αργότερα. Μία από τις άλλες ευθείες πρέπει να είναι παράλληλη προς την ευθεία (α) και να περιλαμβάνει ένα από τα υπόλοιπα σημεία. Φέρουμε λοιπόν μια ευθεία παράλληλη στην (a) που να διέρχεται, έστω, από το σημείο Β και καλούμε αυτή (b). Οι άλλες δύο ευθείες πρέπει να είναι, προφανώς, κάθετες προς τις δύο προηγούμενες παράλληλες ευθείες, για να σχηματίζεται τετράγωνο και πρέπει να περιλαμβάνουν τα σημεία C και D. Κατασκευάζουμε αυτές τις ευθείες και τις ονομάζουμε (c) και (d), αντίστοιχα. Μήπως καταλήξαμε σε ένα τετράγωνο; Όπως ένας φίλος μου μαθηματικός λέει: «είναι δυνατόν, με πιθανότητα μηδέν». Αν δύο από τις ευθείες δε συμπίπτουν, το σχήμα που σχηματίστηκε είναιορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Η όλη κατασκευή έγινε με βάση τα τέσσερα αυθαίρετα σημεία και την ευθεία (a). Το να αλλάξουμε τη θέση οποιουδήποτε από τα σημεία θα ήταν απάτη!..., αλλά μπορούμε να αλλάξουμε την διεύθυνση της ευθείας (a). Καθώς το κάνουμε αυτό, οι διαστάσεις του ορθογωνίου αλλάζουν.

Κάντε κλικ πάνω στην εικόνα πιο κάτω, για να ανοίξετε μια βοηθητική εφαρμογή Java. Σύροντας το κόκκινο σημείο με την ένδειξη “drag” μπορείτε να αλλάζετε τη διεύθυνση της ευθείας (a). Οι ευθείες (b), (c) και (d) θα αλλάξουν διεύθυνση, δεδομένου ότι εξαρτώνται από την ευθεία (a). Επίσης, κάνοντας κλικ στο “show the graph” βλέπετε ένα διάγραμμα το οποίο

θα σχολιάσουμε στη συνέχεια. Περιστρέφοντας κυκλικά το σημείο με την ένδειξη “drag” οι διαστάσεις του ορθογωνίου αλλάζουν - αυξομειώνονται. Αυτή η αυξομείωση των διαστάσεων του ορθογωνίου επαναλαμβάνεται κυκλικά δύο φορές, κάθε φορά που το σημείο ελέγχου “drag” συμπληρώνει έναν πλήρη κύκλο περιστροφής. Σε κάθε κυκλική περιστροφή κατά 180⁰ υπάρχουν δύο θέσεις στις οποίες σχηματίζεται ένα τετράγωνο. Αυτό ισχύει πάντα;

Η μια διάσταση του ορθογωνίου είναι η απόσταση μεταξύ των ευθειών (a) και (b). Η απόσταση αυτή κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και ΑΒ. Ομοίως, η άλλη διάσταση του ορθογωνίου είναι η απόσταση μεταξύ των ευθειών (c) και (d) και κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και CD. Αν οι δύο αυτές αποστάσεις είναι ίσες, τότε σχηματίζεται ένα τετράγωνο.

Προσπαθήστε τώρα να σύρετε τα τυχαία σημεία A, B, C και D. Είναι δυνατόν να ταξινομηθούν σε θέσεις τέτοιες, ώστε να μη σχηματίζεται ποτέ τετράγωνο;

Tώρα ας δούμε/μελετήσουμε το πιο κάτω διάγραμμα.

Είναι αυτό που εμφανίζεται, όταν κάνουμε κλικ στο “show the graph”. Το ύψος του κάθε γραφήματος από την κάτω οριζόντια γραμμή παριστάνει το μήκος της μιας διάστασης του ορθογωνίου. Έτσι, το κόκκινο γράφημα παριστάνει τη μια διάσταση του ορθογωνίου, δηλαδή την απόσταση μεταξύ των ευθειών (a) και (b) και το πράσινο γράφημα παριστάνει την άλλη διάσταση, δηλαδή την απόσταση μεταξύ των ευθειών (c) και (d). Εδώ φαίνεται μόνον ένας κύκλος αυξομείωσης των διαστάσεων του ορθογωνίου, δηλαδή περιστροφή του σημείου “drag” κατά 180⁰. Τα δύο γραφήματα έχουν την ίδια περίοδο. Παρατηρείστε ότι και τα δύο γραφήματα εφάπτονται του άξονα μια μόνο φορά για κάθε έναν κύκλο αυξομείωσης, οπότε είναι προφανές ότι πρέπει να τέμνονται. Γενικά, θα τέμνονται δύο φορές σε κάθε κύκλο. Τα σημεία τομής μεταξύ των δύο γραφημάτων παριστάνουν τις θέσεις στις οποίες οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι ίσες, δηλαδή όταν σχηματίζεται τετράγωνο. Έτσι υπάρχουν πάντα δύο τετράγωνα. Συμφωνείτε; Μάλλον, ναι. Θα επανέλθουμε στο ζήτημα αυτό αργότερα.

Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από τις δύο αυτές λύσεις; Ας θυμηθούμε πώς σχηματίστηκε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ξεκινήσαμε με την ευθεία (a), η οποία διέρχεται από το σημείο Α και κατασκευάσαμε μια παράλληλη σε αυτήν ευθεία (b), η οποία διέρχεται από το σημείο Β. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με ένα διαφορετικό τρόπο. Κατασκευάστε παράλληλες ευθείες (a) και (c), οι οποίες διέρχονται από τα σημεία Α και C, αντίστοιχα και ευθείες (b) και (d) κάθετες στις προηγούμενες, έτσι ώστε να διέρχονται από τα σημεία Β και D, αντίστοιχα. Αυτό θα οδηγήσει στο σχηματισμό δύο τετραγώνων, δηλαδή σε μια επιπλέον λύση. Τώρα, ας ξεκινήσετε πάλι, αλλά αυτή τη φορά με τις παράλληλες ευθείες (a) και (d), οι οποίες διέρχονται από τα σημεία Α και D, αντίστοιχα και συνεχίστε όπως και προηγουμένως. Αυτό θα σας οδηγήσει σε μια επιπλέον λύση με δύο τετράγωνα, δηλαδή συνολικά τρεις λύσεις – έξι τετράγωνα.

Στη συνέχεια, περιγράφεται σχηματικά η κατασκευή μιας τυπικής λύσης.

1) Ξεκινήστε με τέσσερα αυθαίρετα σημεία A, B, C και D.	2) Κατασκευάστε σημείο E κάνοντας μια μεταφορά του σημείου A κατά διάνυσμα CD.
3) Περιστρέψτε το σημείο E κατά 90° γύρω από το σημείο A. Ονομάστε την εικόνα του F.	4) Κατασκευάστε την ευθεία BF, κατασκευάστε μια ευθεία παράλληλη σε αυτήν που να διέρχεται από το A. Κατασκευάστε ευθείες που να διέρχονται από τα C και D και να είναι κάθετες στη BF.

Με την κατασκευή αυτή σχηματίζεται ένα τετράγωνο σε μια από τις προηγούμενες λύσεις. Στη συγκεκριμένη λύση οι ευθείες (a) και (b) είναι παράλληλες. Για να πάρετε το δεύτερο τετράγωνο, αλλάξτε τη γωνία περιστροφής σε 270⁰ στο βήμα 3. Για να πάρετε ένα από τα άλλα ζεύγη λύσεων, ξεκινήστε τη παραπάνω κατασκευή με ένα από τα υπόλοιπα τρία σημεία Β, C ή D.

Κάντε κλικ στην εικόνα επάνω, για να δείτε και τις τρεις λύσεις-έξι τετράγωνα. Τα τρία ζεύγη διακρίνονται από τα διαφορετικά χρώματα. Μετακινώντας τα ελεύθερα σημεία μπορεί, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, να εξαφανιστεί ένα ζευγάρι τετραγώνων. Γεννώνται βέβαια κάποιες απορίες. Γιατί εμφανίζονται πάντα ζευγάρια τετραγώνων; Κάτω από ποιες συνθήκες εξαφανίζονται; Είναι δυνατόν να εξαφανιστούν τα τέσσερα ή και τα έξι τετράγωνα;

Ας εξετάσουμε τα παραπάνω ερωτήματα αναλυτικότερα. Γιατί εμφανίζονται πάντα ζευγάρια τετραγώνων; Επιστρέψτε στην προηγούμενη βοηθητική εφαρμογή Java. Τονίστηκε προηγουμένως ότι με τις παράλληλες ευθείες (a) και (b) υπάρχουν πάντα δύο τετράγωνα, διότι οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται δύο φορές σε κάθε κύκλο αυξομείωσης. Αυτό δεν είναι εντελώς σωστό. Τι θα συμβεί, εάν οι δύο γραφικές παραστάσεις τμηθούν σε σημείο που βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα, δηλαδή σε σημείο που και οι δύο έχουν ύψος μηδέν; Σε αυτή την περίπτωση τα δύο γραφήματα θα τέμνονται μια μόνο φορά ανά κύκλο αυξομείωσης και ανά δύο οι παράλληλες ευθείες θα ταυτίζονται. Σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση δεν υπάρχει τετράγωνο, αφού το ορθογώνιο εκφυλίζεται σε ένα σημείο, οπότε αυτή η τομή δεν αποτελεί λύση.

Είναι εύλογο να αναζητήσουμε ποιες συνθήκες προκαλούν αυτή τη περίπτωση. Ένας μικρός πειραματισμός / συλλογιστική θα δείξει ότι αυτό συμβαίνει όταν οι ευθείες AB και CD είναι κάθετες μεταξύ τους. Μετακινήστε τα τέσσερα δεδομένα σημεία σε μια τέτοια θέση και σύρετε το κόκκινο σημείο “drag”, που ελέγχει τις διευθύνσεις των ευθειών. Θα δείτε μερικές ενδιαφέρουσες συμπεριφορές του ορθογωνίου που σχηματίζεται από τις τομές των ευθειών αυτών. Αλλάζει το μέγεθος του ορθογωνίου, αλλά ο λόγος μήκος / πλάτος παραμένει σταθερός. Αυτό το γεγονός εμποδίζει να σχηματιστεί τετράγωνο.

Ακόμα και στην περίπτωση αυτή, που οι ευθείες AB και CD είναι κάθετες, μπορεί να υπάρχουν λύσεις. Αντί να έχουμε την ευθεία (a) παράλληλη με την ευθεία (b), κάνουμε τις ευθείες (a) και (c) παράλληλες. Με τον τρόπο αυτό σχηματίζεται ένα ζεύγος τετραγώνων, εκτός αν και οι ευθείες AC και BD είναι και αυτές κάθετες. Τι θα συμβαίνει, αν και αυτές είναι κάθετες; Τότε θα έχουμε AB ┴ CD και AC ┴ BD, οπότε τα σημεία A, B, C και D σχηματίζουν ορθοκεντρικό σύστημα, οπότε θα είναι και AD ┴ BC (δηλαδή εδώ έχουμε τις κορυφές ενός τριγώνου και το ορθόκεντρό του, που είναι το σημείο τομής των υψών του). Αυτός είναι και ο λόγος που στη μικροεφαρμογή Java των έξι τετραγώνων στην παραπάνω δεξιά εικόνα έχουμε τις εξής περιπτώσεις: ή θα εμφανίζονται μόνο δύο λύσεις (τέσσερα τετράγωνα), ή θα εξαφανιστούν και οι τρεις λύσεις (έξι τετράγωνα), αλλά δεν είναι δυνατόν να υπάρξει η περίπτωση κατά την οποία θα εξαφανιστούν οι δύο λύσεις (τέσσερα τετράγωνα) και θα μείνει μόνο μία λύση (δύο τετράγωνα). Το τελευταίο μπορεί να συμβεί όταν δύο από δεδομένα σημεία ταυτίζονται, αλλά τότε δε θα έχουμε τέσσερα διακεκριμένα σημεία.

Έτσι, φαίνεται ότι υπάρχουν πάντα λύσεις εκτός από την περίπτωση που τα τέσσερα σημεία αποτελούν ορθοκεντρικό σύστημα. Υπάρχει όμως ακόμα ελπίδα… Ας επιστρέψουμε και πάλι στην μικροεφαρμογή Java. Μετακινήστε τα σημεία, έτσι ώστε AB ┴ CD. Αναφέρθηκε προηγουμένως ότι στην περίπτωση αυτή διατηρείται σταθερός ο λόγος του μήκους των πλευρών του ορθογωνίου, με αποτέλεσμα να μη σχηματίζεται τετράγωνο. Τι γίνεται, όμως, όταν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις έχουν και το ίδιο πλάτος; Παρατηρήστε ότι οι δύο γραφικές παραστάσεις έχουν την ίδια περίοδο και μηδενική διαφορά φάσης (μετατόπιση), γεγονός που τις κάνει να τέμνονται σε σημείο του άξονα, όταν και οι δύο έχουν ύψος μηδέν. Στην περίπτωση αυτή οι δύο γραφικές παραστάσεις συμπίπτουν. Τότε το μήκος και το πλάτος του ορθογωνίου είναι ίσα, οπότε σχηματίζεται πάντα τετράγωνο, με αποτέλεσμα να μην έχει σημασία ποια διεύθυνση θα επιλεγεί για τις ευθείες που φέρουμε. Υπάρχουν άπειρες λύσεις, δηλαδή άπειρα τετράγωνα. Για να δημιουργήσετε τη ρύθμιση αυτή, οι ευθείες AB και CD πρέπει να είναι κάθετες και ΑΒ = CD.

Αυτό μπορεί να συμβεί σε ένα ορθοκεντρικό σύστημα. Η σύνδεση πάνω στην αριστερή εικόνα θα σας μεταφέρει σε μια άλλη μικροεφαρμογή Java. Αυτό είναι ένα ορθοκεντρικό σύστημα. Τα σημεία A, B και C είναι τυχαία, αλλά το σημείο D είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC. Τα τρία χρώματα αντιπροσωπεύουν τις προσπάθειες, ώστε η ευθεία (a) να συνδυαστεί με την (b) - μπλε, (c) - κόκκινη ή την (d) - πράσινη. Παρατηρήστε ότι, όταν αλλάζουν οι διευθύνσεις των ευθειών, τα ορθογώνια αλλάζουν σε μέγεθος, αλλά ο λόγος μήκος / πλάτος δεν αλλάζει. Κάνοντας κλικ σε ένα από τα κουμπιά “Square” θα κινηθεί το αντίστοιχο συνδεδεμένο σημείο σε μια κατάλληλη θέση, στην οποία ένα από τα ορθογώνια θα γίνει τετράγωνο. Κατ’ αρχάς, μείνετε μακριά από το μαύρο κουμπί “Show locus”. Αν μετακινήσουμε μόνο το σημείο C, το σημείο D αυτόματα θα κινηθεί, έτσι ώστε να διατηρείται η σχέση του ορθοκεντρικού συστήματος. Σε ποια θέση μπορεί να μεταφερθεί το σημείο C, ώστε να υπάρχει λύση; Είναι δυνατόν να υπάρχει λύση ταυτόχρονα για δύο από τα χρώματα; Είναι δυνατόν και για τα τρία χρώματα; Παρατηρείστε ότι κάθε φορά μόνο ένα από τα τρία ορθογώνια μπορεί να γίνει τετράγωνο. Αν προσπαθήσετε να κάνετε τετράγωνο και κάποιο από τα άλλα δύο ορθογώνια, το προηγούμενο τετράγωνο δεν παραμένει. Γιατί; Τι συμβαίνει αν προσπαθήσετε κάτι τέτοιο; Μπορείτε να το δικαιολογήσετε;

Κάνοντας τώρα κλικ στο “ Show locus ” θα εμφανιστούν οι θέσεις των σημείων, τις οποίες μπορεί να καταλάβει το σημείο C, για να δημιουργηθεί μια λύση.

Συμπέρασμα

Η κατασκευή τετραγώνου τεσσάρων σημείων είναι πάντα δυνατή, όταν τα τέσσερα σημεία δεν αποτελούν ορθοκεντρικό σύστημα. Γενικά, υπάρχουν τρεις λύσεις (έξι τετράγωνα). Αν δύο ζεύγη σημείων ξένα μεταξύ τους ορίζουν κάθετες ευθείες, γενικά υπάρχουν δύο λύσεις (τέσσερα τετράγωνα). Ωστόσο, εάν τα δύο αυτά ζεύγη σημείων είναι και σε ίση απόσταση, τότε υπάρχουν άπειρες λύσεις.

Δρ. Σωτηρόπουλος Νίκος

Μαθηματικός

Αναφορά: Whistler Alley Mathematics by Paul Kunkel